200
8 • Méthodes d’approximation
Les éléments matriciels de Q qui sont non nuls ont des indices tels que : r−i = ±1, i−j = ±1,
j − k = ±1 ; k − r = ±1. Pour r fixé, les seules valeurs non nulles de Q ri , Q ij , Q jk , Q kr ,
correspondent aux indices donnés dans le tableau suivant.
i
j
k
r + 1
r
r + 1, r − 1
r − 1
r
r + 1, r − 1
r + 1
r + 2
r + 1
r − 1
r − 2
r − 1
On obtient la perturbation du premier ordre en faisant la somme des six éléments non nuls :
E
1
n (x
4 ) =
3B
2
mv
2
n
2 + n +
1
2
(10)
Exercice 8.7. Méthode des variations appliquée à l’oscillateur
harmonique
On va utiliser la méthode des variations pour trouver des solutions approchées de l’oscillateur harmonique.
1. Sachant que la fonction d’onde de l’état fondamental doit avoir une
forme en cloche, considérons une fonction d’essai w a (x) = exp(−ax
2 ),
avec a > 0. Déterminer la valeur approchée de l’énergie E 0 de l’état fondamental de l’oscillateur harmonique. Comparer avec la valeur exacte.
2. On note |c n les vecteurs propres de l’hamiltonien H de l’oscillateur.
Soit |w b un vecteur orthogonal à |c 0 . Montrer qu’en prenant comme vecteur d’essai |w b , on a alors H(b) E 1 .
3. Soit w b (x) = x exp(−bx
2 ), avec b > 0. Cette fonction est-elle orthogonale à w a (x) ?
4. Calculer H(b) avec w b (x) comme fonction d’essai. Déterminer la valeur approchée de E 1 et la comparer à sa valeur exacte.
5. Les fonctions précédentes ont été choisies de facon à obtenir des valeurs
exactes de l’énergie. Considérons à présent une autre fonction d’essai ayant
également une forme en cloche, telle la fonction dite de Lorentz :
w g (x) =
1
x 2 + g
; g > 0
(1)
Déterminer H(g) et la valeur approchée de E 0 . Quelle est l’erreur relative,
par rapport à v, obtenue entre les valeurs E 0 exacte et approchée ?
On utilisera la formule
∞
−∞
1
x 2 + g
n+1 dx = (−1)
n 1
n!
d
n
dg n
p
√ g
avec n = 0, 1, 2, 3...
8 • Méthodes d’approximation
Les éléments matriciels de Q qui sont non nuls ont des indices tels que : r−i = ±1, i−j = ±1,
j − k = ±1 ; k − r = ±1. Pour r fixé, les seules valeurs non nulles de Q ri , Q ij , Q jk , Q kr ,
correspondent aux indices donnés dans le tableau suivant.
i
j
k
r + 1
r
r + 1, r − 1
r − 1
r
r + 1, r − 1
r + 1
r + 2
r + 1
r − 1
r − 2
r − 1
On obtient la perturbation du premier ordre en faisant la somme des six éléments non nuls :
E
1
n (x
4 ) =
3B
2
mv
2
n
2 + n +
1
2
(10)
Exercice 8.7. Méthode des variations appliquée à l’oscillateur
harmonique
On va utiliser la méthode des variations pour trouver des solutions approchées de l’oscillateur harmonique.
1. Sachant que la fonction d’onde de l’état fondamental doit avoir une
forme en cloche, considérons une fonction d’essai w a (x) = exp(−ax
2 ),
avec a > 0. Déterminer la valeur approchée de l’énergie E 0 de l’état fondamental de l’oscillateur harmonique. Comparer avec la valeur exacte.
2. On note |c n les vecteurs propres de l’hamiltonien H de l’oscillateur.
Soit |w b un vecteur orthogonal à |c 0 . Montrer qu’en prenant comme vecteur d’essai |w b , on a alors H(b) E 1 .
3. Soit w b (x) = x exp(−bx
2 ), avec b > 0. Cette fonction est-elle orthogonale à w a (x) ?
4. Calculer H(b) avec w b (x) comme fonction d’essai. Déterminer la valeur approchée de E 1 et la comparer à sa valeur exacte.
5. Les fonctions précédentes ont été choisies de facon à obtenir des valeurs
exactes de l’énergie. Considérons à présent une autre fonction d’essai ayant
également une forme en cloche, telle la fonction dite de Lorentz :
w g (x) =
1
x 2 + g
; g > 0
(1)
Déterminer H(g) et la valeur approchée de E 0 . Quelle est l’erreur relative,
par rapport à v, obtenue entre les valeurs E 0 exacte et approchée ?
On utilisera la formule
∞
−∞
1
x 2 + g
n+1 dx = (−1)
n 1
n!
d
n
dg n
p
√ g
avec n = 0, 1, 2, 3...