Exercices
199
obtient :
(Q
3 ) rs =
ij
Q ri Q ij Q js
(3)
Les éléments matriciels non nuls de Q sont :
n|Q|n + 1 = Q n,n+1 = n + 1|Q|n = Q n+1,n =
n + 1
2
(4)
Les seuls éléments non nuls de (Q
3 ) rs sont ceux pour lesquels : i − r = ±1, j − i = ±1,
s − j = ±1, ce qui implique :
s − r = ±3 ou ± 1
( 5 )
2. La perturbation du premier ordre due à Q
3 est donnée par les éléments matriciels diagonaux : r|Q
3
|r = Q rr . Tous ces éléments sont nuls, compte tenu de (5) et la perturbation du
premier ordre est donc nulle.
La perturbation du deuxième ordre s’écrit sous la forme :
E
2
s =
r =s
|(Q
3 ) rs |
2
E 0
s − E 0
r
(6)
Pour une valeur s fixée, les seules valeurs non nulles de Q ri , Q ij , Q js , qui figurent dans (3),
correspondent aux indices donnés dans le tableau suivant :
j
i
r
s + 1
s + 2
s + 1, s + 3
s − 1
s
s + 1, s − 1
s + 1
s
s + 1, s − 1
s − 1
s − 2
s − 1, s − 3
On doit donc calculer tous les termes (Q
3 ) rs donnés par (3) en ne retenant pour les éléments
matriciels de Q que les indices donnés dans le tableau ci-dessus. On a par exemple :
(Q
3 ) s−3,s = Q s−3,s−2 Q s−2,s−1 Q s−1,s =
1
√
8
s (s − 1) (s − 2)
(7)
La détermination des éléments (Q
3 ) rs se simplifie en remarquant que la matrice hermitienne
est symétrique puisqu’elle a des valeurs réelles. On a ainsi, par exemple : (Q
3 ) s+3,s = (Q
3 ) s,s+3 .
Le calcul des quantités E
0
s − E
0
r qui figurent au dénominateur de (6) ne présente pas de difficulté. La somme de tous les termes donne finalement, en utilisant la définition de Q :
E
2
n (x
3 ) = −
15A
2
4 v
mv
3
n
2 + n +
11
30
(8)
3. La perturbation BQ
4 fait intervenir, lors du calcul de perturbation du premier ordre, les
éléments matriciels :
(Q
4 ) rr =
ijk
Q ri Q ij Q jk Q kr
(9)
199
obtient :
(Q
3 ) rs =
ij
Q ri Q ij Q js
(3)
Les éléments matriciels non nuls de Q sont :
n|Q|n + 1 = Q n,n+1 = n + 1|Q|n = Q n+1,n =
n + 1
2
(4)
Les seuls éléments non nuls de (Q
3 ) rs sont ceux pour lesquels : i − r = ±1, j − i = ±1,
s − j = ±1, ce qui implique :
s − r = ±3 ou ± 1
( 5 )
2. La perturbation du premier ordre due à Q
3 est donnée par les éléments matriciels diagonaux : r|Q
3
|r = Q rr . Tous ces éléments sont nuls, compte tenu de (5) et la perturbation du
premier ordre est donc nulle.
La perturbation du deuxième ordre s’écrit sous la forme :
E
2
s =
r =s
|(Q
3 ) rs |
2
E 0
s − E 0
r
(6)
Pour une valeur s fixée, les seules valeurs non nulles de Q ri , Q ij , Q js , qui figurent dans (3),
correspondent aux indices donnés dans le tableau suivant :
j
i
r
s + 1
s + 2
s + 1, s + 3
s − 1
s
s + 1, s − 1
s + 1
s
s + 1, s − 1
s − 1
s − 2
s − 1, s − 3
On doit donc calculer tous les termes (Q
3 ) rs donnés par (3) en ne retenant pour les éléments
matriciels de Q que les indices donnés dans le tableau ci-dessus. On a par exemple :
(Q
3 ) s−3,s = Q s−3,s−2 Q s−2,s−1 Q s−1,s =
1
√
8
s (s − 1) (s − 2)
(7)
La détermination des éléments (Q
3 ) rs se simplifie en remarquant que la matrice hermitienne
est symétrique puisqu’elle a des valeurs réelles. On a ainsi, par exemple : (Q
3 ) s+3,s = (Q
3 ) s,s+3 .
Le calcul des quantités E
0
s − E
0
r qui figurent au dénominateur de (6) ne présente pas de difficulté. La somme de tous les termes donne finalement, en utilisant la définition de Q :
E
2
n (x
3 ) = −
15A
2
4 v
mv
3
n
2 + n +
11
30
(8)
3. La perturbation BQ
4 fait intervenir, lors du calcul de perturbation du premier ordre, les
éléments matriciels :
(Q
4 ) rr =
ijk
Q ri Q ij Q jk Q kr
(9)