198
8 • Méthodes d’approximation
2. Le développement de (2) donne seize opérateurs formés par des combinaisons de a et a
† .
Notons A l’un de ces opérateurs. Les éléments matriciels n|A|n seront nuls si A|n n’est pas
un vecteur proportionnel à |n. Ce sera le cas lorsque A contient des opérateurs a et a
† en
nombre non égal. Les seuls éléments matriciels non nuls sont les six suivants :
n|a
†2 a
2
|n = n(n − 1)
;
n|aa
†2 a|n = n(n + 1)
n|a
† aa
† a|n = n
2
;
n|aa
† aa
†
|n = (n + 1)
2
n|a
† a
2 a
†
|n = n(n + 1)
;
n|a
2 a
†2
|n = (n + 1)(n + 2)
(3)
La formule (8.1.17) ainsi que les résultats ci-dessus donnent pour l’énergie de perturbation
au premier ordre due à gX
4 :
E
1
n (X
4 ) =
3g
2
mv
2
n
2 + n +
1
2
(4)
Exercice 8.6. Perturbations d’un oscillateur harmonique
Le présent exercice porte sur les mêmes perturbations qu’au cours des exercices qui précèdent mais la technique suivante est plus systématique.
En effectuant un développement limité du potentiel V(Q) d’un oscillateur
anharmonique au voisinage de sa position d’équilibre avec V(0) = 0, on
obtient :
V(Q) = (Q
2 /2) + AQ
3 + BQ
4 + · · ·
(1)
Les potentiels AQ
3 et BQ
4 sont des potentiels de perturbation de l’oscillateur harmonique ; les notations sont celles utilisées lors de l’étude de l’oscillateur harmonique. On a : Q = (mv/ )
1/2 x.
1. Écrire l’expression des éléments matriciels de l’opérateur Q
3 en fonction
de ceux de Q. Déterminer les éléments matriciels non nuls de Q
3 .
2. Calculer les termes correctifs de l’énergie des premier et deuxième
ordres dus à la perturbation AQ
3 .
3. Faire un calcul analogue pour la perturbation BQ
4 , en se limitant au
premier ordre.
Solution.
1. Partons du développement : Q|c
0
r =
k
Q kr |c
0
k , où les |c
0
k sont les vecteurs d’état de
l’oscillateur harmonique ; les quantités Q kr sont les éléments matriciels de l’opérateur Q sur
la base |c
0
k . On a :
Q
2
|c
0
r = Q(
k
Q kr |c
0
k ) =
k
Q kr Q|c
0
k =
ik
Q ik Q kr |c
0
i
(2)
La relation (2) définit l’élément de matrice de Q
2 , soit (Q
2 ) ir =
k
Q ik Q kr . On obtient
l’élément matriciel correspondant au produit des matrices de Q. Par le même procédé, on
8 • Méthodes d’approximation
2. Le développement de (2) donne seize opérateurs formés par des combinaisons de a et a
† .
Notons A l’un de ces opérateurs. Les éléments matriciels n|A|n seront nuls si A|n n’est pas
un vecteur proportionnel à |n. Ce sera le cas lorsque A contient des opérateurs a et a
† en
nombre non égal. Les seuls éléments matriciels non nuls sont les six suivants :
n|a
†2 a
2
|n = n(n − 1)
;
n|aa
†2 a|n = n(n + 1)
n|a
† aa
† a|n = n
2
;
n|aa
† aa
†
|n = (n + 1)
2
n|a
† a
2 a
†
|n = n(n + 1)
;
n|a
2 a
†2
|n = (n + 1)(n + 2)
(3)
La formule (8.1.17) ainsi que les résultats ci-dessus donnent pour l’énergie de perturbation
au premier ordre due à gX
4 :
E
1
n (X
4 ) =
3g
2
mv
2
n
2 + n +
1
2
(4)
Exercice 8.6. Perturbations d’un oscillateur harmonique
Le présent exercice porte sur les mêmes perturbations qu’au cours des exercices qui précèdent mais la technique suivante est plus systématique.
En effectuant un développement limité du potentiel V(Q) d’un oscillateur
anharmonique au voisinage de sa position d’équilibre avec V(0) = 0, on
obtient :
V(Q) = (Q
2 /2) + AQ
3 + BQ
4 + · · ·
(1)
Les potentiels AQ
3 et BQ
4 sont des potentiels de perturbation de l’oscillateur harmonique ; les notations sont celles utilisées lors de l’étude de l’oscillateur harmonique. On a : Q = (mv/ )
1/2 x.
1. Écrire l’expression des éléments matriciels de l’opérateur Q
3 en fonction
de ceux de Q. Déterminer les éléments matriciels non nuls de Q
3 .
2. Calculer les termes correctifs de l’énergie des premier et deuxième
ordres dus à la perturbation AQ
3 .
3. Faire un calcul analogue pour la perturbation BQ
4 , en se limitant au
premier ordre.
Solution.
1. Partons du développement : Q|c
0
r =
k
Q kr |c
0
k , où les |c
0
k sont les vecteurs d’état de
l’oscillateur harmonique ; les quantités Q kr sont les éléments matriciels de l’opérateur Q sur
la base |c
0
k . On a :
Q
2
|c
0
r = Q(
k
Q kr |c
0
k ) =
k
Q kr Q|c
0
k =
ik
Q ik Q kr |c
0
i
(2)
La relation (2) définit l’élément de matrice de Q
2 , soit (Q
2 ) ir =
k
Q ik Q kr . On obtient
l’élément matriciel correspondant au produit des matrices de Q. Par le même procédé, on