Exercices
197
Posons encore
√
2Q = q ; on a : q
3 = (a
† + a)
3 . Il vient en développant et posant N = a
† a :
q
3 = a
†3 + a
3 + 3Na
† + 3(N + 1)a
(4)
2. La correction du premier ordre est donnée par (8.1.10), soit, en posant |c
0
n = |n :
E
1
n = c
0
n |V|c
0
n = n|V|n
(5)
Utilisons les relations a|n =
√
n|n − 1 et a
†
|n =
√
n + 1|n + 1 ; les éléments matriciels
diagonaux de l’opérateur V seront nuls si le vecteur V|n n’est pas proportionnel au vecteur
|n. Dans l’expression (4), tous les opérateurs qui figurent dans q
3 donnent des vecteurs qui
ne sont pas proportionnels à |n. En conséquence, tous les éléments matriciels diagonaux sont
nuls et la correction du premier ordre est nulle.
3. Le terme correctif du deuxième ordre fait apparaître une sommation sur les éléments
matriciels c
0
k |V|c
0
n . Les seuls éléments non nuls sont les suivants :
n + 3|q
3
|n = n + 3|a
†3
|n =
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n − 3|q
3
|n = n − 3|a
3
|n =
n(n − 1)(n − 2)
n + 1|q
3
|n = n + 1|3Na
†
|n = 3(n + 1)
3/2
n − 1|q
3
|n = n − 1|3(N + 1)a|n = 3n
3/2
(6)
La formule (8.1.21) ainsi que les résultats ci-dessus donnent pour expression de l’énergie de
perturbation du deuxième ordre due à bX
3 :
E
2
n = −
15b
2
4 v
mv
3
n
2 + n +
11
30
(7)
Exercice 8.5. Perturbation en X
4 d’un oscillateur harmonique
Le développement au quatrième ordre de l’énergie potentielle d’interaction
des atomes d’une molécule diatomique est de la forme :
V(X) = V 0 + aX
2 + bX
3 + gX
4
(1)
où le terme gX
4 est petit par rapport à aX
2 .
1. Exprimer l’opérateur X
4 en fonction des opérateurs d’annihilation et de
création, a et a
† , de l’oscillateur harmonique.
2. Calculer le terme correctif E
1
n au premier ordre dû à gX
4 , d’un niveau
d’énergie E
0
n de l’oscillateur harmonique.
Solution.
1. On a : X = Q
/mv ; posons
√
2Q = q, d’où :
q
4 = (a + a
† )
4
(2)
197
Posons encore
√
2Q = q ; on a : q
3 = (a
† + a)
3 . Il vient en développant et posant N = a
† a :
q
3 = a
†3 + a
3 + 3Na
† + 3(N + 1)a
(4)
2. La correction du premier ordre est donnée par (8.1.10), soit, en posant |c
0
n = |n :
E
1
n = c
0
n |V|c
0
n = n|V|n
(5)
Utilisons les relations a|n =
√
n|n − 1 et a
†
|n =
√
n + 1|n + 1 ; les éléments matriciels
diagonaux de l’opérateur V seront nuls si le vecteur V|n n’est pas proportionnel au vecteur
|n. Dans l’expression (4), tous les opérateurs qui figurent dans q
3 donnent des vecteurs qui
ne sont pas proportionnels à |n. En conséquence, tous les éléments matriciels diagonaux sont
nuls et la correction du premier ordre est nulle.
3. Le terme correctif du deuxième ordre fait apparaître une sommation sur les éléments
matriciels c
0
k |V|c
0
n . Les seuls éléments non nuls sont les suivants :
n + 3|q
3
|n = n + 3|a
†3
|n =
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n − 3|q
3
|n = n − 3|a
3
|n =
n(n − 1)(n − 2)
n + 1|q
3
|n = n + 1|3Na
†
|n = 3(n + 1)
3/2
n − 1|q
3
|n = n − 1|3(N + 1)a|n = 3n
3/2
(6)
La formule (8.1.21) ainsi que les résultats ci-dessus donnent pour expression de l’énergie de
perturbation du deuxième ordre due à bX
3 :
E
2
n = −
15b
2
4 v
mv
3
n
2 + n +
11
30
(7)
Exercice 8.5. Perturbation en X
4 d’un oscillateur harmonique
Le développement au quatrième ordre de l’énergie potentielle d’interaction
des atomes d’une molécule diatomique est de la forme :
V(X) = V 0 + aX
2 + bX
3 + gX
4
(1)
où le terme gX
4 est petit par rapport à aX
2 .
1. Exprimer l’opérateur X
4 en fonction des opérateurs d’annihilation et de
création, a et a
† , de l’oscillateur harmonique.
2. Calculer le terme correctif E
1
n au premier ordre dû à gX
4 , d’un niveau
d’énergie E
0
n de l’oscillateur harmonique.
Solution.
1. On a : X = Q
/mv ; posons
√
2Q = q, d’où :
q
4 = (a + a
† )
4
(2)