196
8 • Méthodes d’approximation
Exercice 8.4. Perturbation en X
3 d’un oscillateur harmonique
Considérons une molécule formée de deux atomes de masses respectives
m 1 et m 2 . L’interaction entre ces atomes est complexe puisque les noyaux
et les électrons interagissent entre eux. L’expression de l’énergie potentielle d’interaction, V(r), où r est la distance séparant les noyaux atomiques
considérés comme ponctuels, est donc difficile à déterminer. Cependant,
son allure générale peut être obtenue à partir de quelques remarques
simples.
Puisque la molécule est supposée stable, son énergie potentielle va présenter un minimum correspondant à la position d’équilibre, notée r 0 , des
noyaux. Lorsque r devient très grand, l’interaction entre les deux atomes
doit s’annuler et nous assignerons une valeur nulle au potentiel lorsque r
devient infini.
En revanche, lorsque r décroît en deça de r 0 , les forces à courte portée
donnent naissance à une barrière de potentiel répulsive. On obtient ainsi
une courbe qui a l’allure représentée sur la figure 4.2.
Le puits de potentiel obtenu est dissymétrique mais, au voisinage de la
position d’équilibre r 0 , il peut être approché en utilisant un développement
limité au troisième ordre de V(r) au voisinage de r 0 , soit :
V(r) = V(r 0 ) + V
(r 0 )
(r − r 0 )
2
2
+ V
(r 0 )
(r − r 0 )
3
6
(1)
Le potentiel obtenu est celui d’un oscillateur anharmonique ; il comporte un
terme du troisième ordre qui peut être considéré comme une perturbation
V de l’hamiltonien H 0 d’un oscillateur harmonique.
Calculons les énergies engendrées par cette perturbation. Pour cela, écrivons l’expression (1) de l’énergie potentielle d’un oscillateur anharmonique linéaire sous la forme condensée suivante :
V(X) = V 0 + aX
2 + bX
3
(2)
avec Q =
mv/ X, selon (4.2.2), où X = r − r 0 . Le terme bX
3 est petit
par rapport à aX
2 .
1. Exprimer l’opérateur X
3 en fonction des opérateurs a et a
† .
2. Calculer la correction E
1
n au premier ordre, due à bX
3 , d’un niveau
d’énergie quelconque E
0
n d’un oscillateur harmonique.
3. Même question au deuxième ordre.
Solution.
1. Posons X = Q
/mv et exprimons Q en fonction de a et a
† ; il vient :
Q =
1
√
2
(a
† + a)
( 3 )
8 • Méthodes d’approximation
Exercice 8.4. Perturbation en X
3 d’un oscillateur harmonique
Considérons une molécule formée de deux atomes de masses respectives
m 1 et m 2 . L’interaction entre ces atomes est complexe puisque les noyaux
et les électrons interagissent entre eux. L’expression de l’énergie potentielle d’interaction, V(r), où r est la distance séparant les noyaux atomiques
considérés comme ponctuels, est donc difficile à déterminer. Cependant,
son allure générale peut être obtenue à partir de quelques remarques
simples.
Puisque la molécule est supposée stable, son énergie potentielle va présenter un minimum correspondant à la position d’équilibre, notée r 0 , des
noyaux. Lorsque r devient très grand, l’interaction entre les deux atomes
doit s’annuler et nous assignerons une valeur nulle au potentiel lorsque r
devient infini.
En revanche, lorsque r décroît en deça de r 0 , les forces à courte portée
donnent naissance à une barrière de potentiel répulsive. On obtient ainsi
une courbe qui a l’allure représentée sur la figure 4.2.
Le puits de potentiel obtenu est dissymétrique mais, au voisinage de la
position d’équilibre r 0 , il peut être approché en utilisant un développement
limité au troisième ordre de V(r) au voisinage de r 0 , soit :
V(r) = V(r 0 ) + V
(r 0 )
(r − r 0 )
2
2
+ V
(r 0 )
(r − r 0 )
3
6
(1)
Le potentiel obtenu est celui d’un oscillateur anharmonique ; il comporte un
terme du troisième ordre qui peut être considéré comme une perturbation
V de l’hamiltonien H 0 d’un oscillateur harmonique.
Calculons les énergies engendrées par cette perturbation. Pour cela, écrivons l’expression (1) de l’énergie potentielle d’un oscillateur anharmonique linéaire sous la forme condensée suivante :
V(X) = V 0 + aX
2 + bX
3
(2)
avec Q =
mv/ X, selon (4.2.2), où X = r − r 0 . Le terme bX
3 est petit
par rapport à aX
2 .
1. Exprimer l’opérateur X
3 en fonction des opérateurs a et a
† .
2. Calculer la correction E
1
n au premier ordre, due à bX
3 , d’un niveau
d’énergie quelconque E
0
n d’un oscillateur harmonique.
3. Même question au deuxième ordre.
Solution.
1. Posons X = Q
/mv et exprimons Q en fonction de a et a
† ; il vient :
Q =
1
√
2
(a
† + a)
( 3 )