Exercices
195
les seuls éléments non nuls des opérateurs a
†2 et a
2 sont :
n + 2|a
†2
|n =
(n + 1)(n + 2)
(6)
n − 2|a
2
|n =
n(n − 1)
(7)
D’autre part, les opérateurs 1 et 2a
† a n’ont que des éléments diagonaux :
n|1|n = 1 ; n|2a
† a|n = 2n
(8)
Perturbation du premier ordre. Selon (8.1.9), le terme correctif du premier ordre est obtenu à
partir des éléments diagonaux, d’où :
E
1
n = n|V|n =
r v
2
n +
1
2
(9)
Perturbation du deuxième ordre. La correction du deuxième ordre est donnée par l’expression
(8.1.21), d’où, compte tenu de (6) et (7) :
E
2
n = −
vr
2
8
n +
1
2
(10)
En rassemblant les résultats (9) et (10), on obtient pour l’énergie du niveau perturbé :
E n = E
0
n + E
1
n + E
2
n = v
n +
1
2
1 +
r
2
−
r
2
8
(11)
3. L’hamiltonien d’un oscillateur harmonique perturbé par le potentiel V s’écrit :
H =
P
2
2m
+
1
2
mv
2 (1 + r)X
2
(12)
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique pour lequel on se ramène à la forme classique
en posant :
v
2 = v
2 (1 + r)
(13)
Les valeurs propres de l’hamiltonien H sont donc :
E n = v
n +
1
2
= v
1 + r
n +
1
2
(14)
Développant l’expression du radical, on obtient :
E n = v
n +
1
2
1 +
r
2
−
r
2
8
+ · · ·
(15)
En comparant avec les résultats donnés par la méthode des perturbations, on voit que celle-ci
permet d’obtenir, par étapes successives, une approximation du résultat exact.