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8 • Méthodes d’approximation
C’est une équation identique à celle d’un oscillateur harmonique non perturbé. Les niveaux
d’énergie E
n sont donc identiques, d’où :
E n = v(n +
1
2
) − (ka
2 /2)
(3)
2. La perturbation du premier ordre des niveaux d’énergie est donnée par (8.1.9), d’où, pour
le niveau n = 0 :
E
1
0 = c
0
0 |kaX|c
0
0
(4)
Les éléments matriciels de l’opérateur X sont donnés par (4.3.6). Les éléments diagonaux
sont nuls et la perturbation est donc nulle au premier ordre. La perturbation du deuxième
ordre est donnée par (8.1.21). Pour n = 0, le seul terme non nul qui figure dans la somme
(8.1.21) est :
E
2
0 =
||c
0
1 | kaX |c
0
0 |
2
E 0
0 − E 0
1
(5)
Compte tenu de (4.3.6) et des valeurs des énergies, on obtient : E
2
0 = −(ka
2 /2). C’est la
valeur exacte de l’énergie de perturbation obtenue à la question 1.
Exercice 8.3. Perturbation en X
2 d’un oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique est soumis à une perturbation dont l’hamiltonien est :
V =
1
2
mv
2 rX
2
(1)
1. Écrire le potentiel de perturbation en fonction des opérateurs d’annihilation a et de création a
† de l’oscillateur harmonique.
2. Calculer, par la méthode des perturbations, les énergies de perturbation
au premier et deuxième ordre.
3. Calculer directement les niveaux d’énergie exacts et comparer aux résultats précédents.
Solution.
1. L’opérateur X s’écrit en fonction des opérateurs a et a
† :
X =
a + a
†
√
2
mv
(2)
L’hamiltonien de perturbation (1) devient, compte tenu de (2) :
V =
1
4
r v(a + a
† )
2 =
1
4
r v(a
†2 + a
2 + aa
† + a
† a)
( 3 )
Utilisant le commutateur [a, a
† ] = 1, on obtient pour expression de V :
V =
1
4
r v(a
†2 + a
2 + 2a
† a + 1)
(4)
2. La méthode des perturbations nécessite le calcul des éléments matriciels de V. Par suite
des relations :
a|n =
√
n|n − 1 ; a
†
|n =
√
n + 1|n + 1
(5)