Exercices
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EXERCICES
Exercice 8.1. Perturbation du premier ordre
Démontrer que dans la formule (8.1.11) le coefficient c nn peut être choisi
égal à zéro.
Solution.
Considérons un état |c n de norme unité et développons |c n sous la forme (8.1.4), à savoir :
|c n = |c
0
n + a|c
1
n + a
2
|c
2
n + · · ·
(1)
Écrivons |c
1
n sous la forme du développement :
|c
1
n =
k
c kn |c
0
k
(2)
et portons ce développement dans (1). On obtient le produit scalaire suivant qui est égal à un :
c n |c n = c
0
n + a
k
c kn c
0
k + · · · |c
0
n + a
j
c jn c
0
j + · · · ·
= c
0
n |c
0
n + a
k
c
∗
kn c
0
k |c
0
n + a
j
c jn c
0
n |c
0
j + · · ·
= 1 + a(c
∗
nn + c nn ) + · · · = 1
(3)
Pour que l’égalité (3) soit vérifiée quel que soit a, il faut que c
∗
nn + c nn = 0. Puisque les
vecteurs d’état sont déterminés à un facteur de phase près, on peut choisir c nn réel, d’où
c nn = 0.
Exercice 8.2. Perturbation linéaire d’un oscillateur harmonique
Un oscillateur harmonique subit une perturbation V = kax, où a 1.
1. Calculer les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique perturbé en
résolvant directement l’équation de Schrödinger de l’oscillateur perturbé.
2. Calculer les niveaux d’énergie de l’oscillateur perturbé par la méthode
des perturbations pour le niveau fondamental n = 0.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger du système perturbé s’écrit :
−
2
2m
d
2
dx 2 +
k
2
(x
2 + 2ax)
c(x) = E c(x)
( 1 )
Posons y = a + x ; l’équation (1) devient :
−
2
2m
d
2
dy 2 +
k
2
y
2
c(x) = (E +
k
2
a
2 ) c(x) = E
c(x)
( 2 )