8.2 Méthode des variations
191
H|c k = E k |c k . Puisque E 0 est le niveau de plus basse énergie, on a E k E 0 ; il
vient alors :
w|H|w =
k
|c k |
2 E k E 0
k
|c k |
2
(8.2.3)
Remplaçons dans cette dernière inégalité
k
|c k |
2 par w|w ; on obtient la relation
(8.2.1) ce qui démontre le théorème. Ainsi, toute solution approchée fournit pour
l’état fondamental une valeur de l’énergie trop élevée. On obtiendra une solution
d’autant meilleure qu’on aura abaissé l’énergie de cet état.
b) Théorème de Ritz
De manière plus générale, on a le théorème de Ritz :
La valeur moyenne H de l’hamiltonien H d’un système est stationnaire au voisinage de ses valeurs propres discrètes.
Pour démontrer ce théorème, considérons H comme une fonctionnelle du vecteur |w. Écrivons l’expression (8.2.1) sous la forme :
Hw|w = w|H|w
(8.2.4)
et différentions cette dernière formule ; il vient :
w|wdH + H(dw|w + w|dw) = dw|H|w + w|H|dw
(8.2.5)
Puisque H est un nombre, la relation précédente peut encore s’écrire :
w|wdH = dw|H − −H|w + w|H − −H|dw
(8.2.6)
Pour que H soit stationnaire, il faut que dH = 0. L’équation (8.2.6) devient alors :
dw|H − −H|w + w|H − −H|dw = 0
( 8 .2.7)
Cette dernière relation doit être vérifiée pour tout vecteur |dw ; en particulier, on
choisit :
|dw = dl(H − −H)|w
(8.2.8)
où dl est un infiniment petit réel. Posons (H − −H)|w = |c ; l’équation (8.2.7)
s’écrit alors, compte tenu de (8.2.8) :
2dlc|c = 0
( 8 .2.9)
Le vecteur |c est de norme nulle et par suite nécessairement égal au vecteur nul. La
définition de |c donne donc :
H|w = H|w
(8.2.10)
En conséquence, la valeur moyenne H est stationnaire si et seulement si le vecteur
|w est vecteur propre de l’hamiltonien H et les valeurs stationnaires H sont les
valeurs propres de H.
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H|c k = E k |c k . Puisque E 0 est le niveau de plus basse énergie, on a E k E 0 ; il
vient alors :
w|H|w =
k
|c k |
2 E k E 0
k
|c k |
2
(8.2.3)
Remplaçons dans cette dernière inégalité
k
|c k |
2 par w|w ; on obtient la relation
(8.2.1) ce qui démontre le théorème. Ainsi, toute solution approchée fournit pour
l’état fondamental une valeur de l’énergie trop élevée. On obtiendra une solution
d’autant meilleure qu’on aura abaissé l’énergie de cet état.
b) Théorème de Ritz
De manière plus générale, on a le théorème de Ritz :
La valeur moyenne H de l’hamiltonien H d’un système est stationnaire au voisinage de ses valeurs propres discrètes.
Pour démontrer ce théorème, considérons H comme une fonctionnelle du vecteur |w. Écrivons l’expression (8.2.1) sous la forme :
Hw|w = w|H|w
(8.2.4)
et différentions cette dernière formule ; il vient :
w|wdH + H(dw|w + w|dw) = dw|H|w + w|H|dw
(8.2.5)
Puisque H est un nombre, la relation précédente peut encore s’écrire :
w|wdH = dw|H − −H|w + w|H − −H|dw
(8.2.6)
Pour que H soit stationnaire, il faut que dH = 0. L’équation (8.2.6) devient alors :
dw|H − −H|w + w|H − −H|dw = 0
( 8 .2.7)
Cette dernière relation doit être vérifiée pour tout vecteur |dw ; en particulier, on
choisit :
|dw = dl(H − −H)|w
(8.2.8)
où dl est un infiniment petit réel. Posons (H − −H)|w = |c ; l’équation (8.2.7)
s’écrit alors, compte tenu de (8.2.8) :
2dlc|c = 0
( 8 .2.9)
Le vecteur |c est de norme nulle et par suite nécessairement égal au vecteur nul. La
définition de |c donne donc :
H|w = H|w
(8.2.10)
En conséquence, la valeur moyenne H est stationnaire si et seulement si le vecteur
|w est vecteur propre de l’hamiltonien H et les valeurs stationnaires H sont les
valeurs propres de H.