8.1 Perturbations indépendantes du temps
187
Puisque H 0 |0 = E
0
n |0, et compte tenu de l’hermiticité de H 0 qui nous donne
0|H 0 |1 = E
0
n 0|1, le premier terme de (8.1.8) est nul. Les vecteurs |0 étant normés, le second terme de (8.1.8) nous donne :
E
1
n = 0|W|0
(8.1.9)
Pour une valeur propre E
0
n non dégénérée, la valeur propre E n de H s’écrit donc au
premier ordre, en revenant aux notations initiales :
E n E
0
n + c
0
n |V|c
0
n
(8.1.10)
La correction à apporter à l’énergie non perturbée est égale à la valeur moyenne de
l’opérateur de perturbation V calculée sur l’état |c
0
n non perturbé.
b) Vecteurs propres
Cherchons le vecteur |c
1
n sous la forme d’un développement sur les vecteurs d’ordre
zéro |c
0
n :
|c
1
n =
k
c kn |c
0
k
(8.1.11)
Pour n fixé, le coefficient c nn peut être choisi égal à zéro. Pour le montrer, choisissons
|c n de norme unité ; remplaçant |c n par son développement (8.1.4), dans lequel on
remplace ensuite |c
1
n par son développement sur la base |c
0
k (voir exercice 8.1), on
obtient :
c n |c n = 1 + a(c nn + c
∗
nn ) + · · · = 1
( 8 .1.12)
Pour que l’égalité (8.1.12) soit vérifiée quel que soit a, il faut que (c nn + c
∗
nn ) = 0.
Or, puisque les vecteurs d’état sont déterminés à un facteur de phase près, on peut
choisir c nn réel ; il vient alors : c nn = 0.
Les coefficients c kn du développement (8.1.11) sont donnés par : c kn = c
0
k |c
1
n .
Pour les calculer, partons de l’équation (8.1.7) qui nous donne, pour k = n :
c
0
k |H 0 − E
0
n |c
1
n + c
0
k |W − E
1
n |c
0
n = 0
( 8 .1.13)
Le terme c
0
k |E
1
n |c
0
n est nul par suite de l’orthogonalité des vecteurs propres associés
à des valeurs propres différentes. On a d’autre part : c
0
k |H 0 |c
1
n = E
0
k c
0
k |c
1
n et
l’équation (8.1.13) s’écrit :
(E
0
k − E
0
n )c
0
k |c
1
n + c
0
k |W|c
0
n = 0
( 8 .1.14)
Les coefficients c kn = c
0
k |c
1
n apparaissent dans (8.1.14), d’où :
c kn =
c
0
k |W|c
0
n
E 0
n − E 0
k
(8.1.15)
avec k = n. Reportant les expressions (8.1.15) des c kn dans (8.1.11), on obtient :
|c
1
n =
k =n
c
0
k |W|c
0
n
E 0
n − E
0
k
|c
0
k
(8.1.16)
187
Puisque H 0 |0 = E
0
n |0, et compte tenu de l’hermiticité de H 0 qui nous donne
0|H 0 |1 = E
0
n 0|1, le premier terme de (8.1.8) est nul. Les vecteurs |0 étant normés, le second terme de (8.1.8) nous donne :
E
1
n = 0|W|0
(8.1.9)
Pour une valeur propre E
0
n non dégénérée, la valeur propre E n de H s’écrit donc au
premier ordre, en revenant aux notations initiales :
E n E
0
n + c
0
n |V|c
0
n
(8.1.10)
La correction à apporter à l’énergie non perturbée est égale à la valeur moyenne de
l’opérateur de perturbation V calculée sur l’état |c
0
n non perturbé.
b) Vecteurs propres
Cherchons le vecteur |c
1
n sous la forme d’un développement sur les vecteurs d’ordre
zéro |c
0
n :
|c
1
n =
k
c kn |c
0
k
(8.1.11)
Pour n fixé, le coefficient c nn peut être choisi égal à zéro. Pour le montrer, choisissons
|c n de norme unité ; remplaçant |c n par son développement (8.1.4), dans lequel on
remplace ensuite |c
1
n par son développement sur la base |c
0
k (voir exercice 8.1), on
obtient :
c n |c n = 1 + a(c nn + c
∗
nn ) + · · · = 1
( 8 .1.12)
Pour que l’égalité (8.1.12) soit vérifiée quel que soit a, il faut que (c nn + c
∗
nn ) = 0.
Or, puisque les vecteurs d’état sont déterminés à un facteur de phase près, on peut
choisir c nn réel ; il vient alors : c nn = 0.
Les coefficients c kn du développement (8.1.11) sont donnés par : c kn = c
0
k |c
1
n .
Pour les calculer, partons de l’équation (8.1.7) qui nous donne, pour k = n :
c
0
k |H 0 − E
0
n |c
1
n + c
0
k |W − E
1
n |c
0
n = 0
( 8 .1.13)
Le terme c
0
k |E
1
n |c
0
n est nul par suite de l’orthogonalité des vecteurs propres associés
à des valeurs propres différentes. On a d’autre part : c
0
k |H 0 |c
1
n = E
0
k c
0
k |c
1
n et
l’équation (8.1.13) s’écrit :
(E
0
k − E
0
n )c
0
k |c
1
n + c
0
k |W|c
0
n = 0
( 8 .1.14)
Les coefficients c kn = c
0
k |c
1
n apparaissent dans (8.1.14), d’où :
c kn =
c
0
k |W|c
0
n
E 0
n − E 0
k
(8.1.15)
avec k = n. Reportant les expressions (8.1.15) des c kn dans (8.1.11), on obtient :
|c
1
n =
k =n
c
0
k |W|c
0
n
E 0
n − E
0
k
|c
0
k
(8.1.16)