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8 • Méthodes d’approximation
Supposons connus les vecteurs propres |c
0
n et les valeurs propres E
0
n du spectre,
supposé discret, de l’hamiltonien non perturbé H 0 . On connaît donc les solutions
exactes, ou approchées, de l’équation de Schrödinger :
H 0 |c
0
n = E
0
n |c
0
n
(8.1.2)
Le problème à résoudre par la méthode des perturbations consiste à trouver de manière approchée les solutions de l’équation :
H|c n = (H 0 + V)|c n = E n |c n
(8.1.3)
donc de déterminer les valeurs propres E n et les vecteurs propres |c n de l’hamiltonien perturbé H.
8.1.2 Valeurs propres non dégénérées : correction du premier ordre
Nous supposerons que toutes les valeurs propres E
0
n sont non dégénérées et que les
vecteurs propres |c
0
n sont normés. La perturbation étant supposée faible, nous l’écrirons sous la forme V = aW avec a 1. Nous allons chercher à présent les valeurs
et les vecteurs propres de H sous forme de séries :
E n = E
0
n + aE
1
n + a
2 E
2
n + · · ·
|c n = |c
0
n + a|c
1
n + a
2
|c
2
n + ...
(8.1.4)
Afin d’alléger les notations, posons pour n fixé : |c
k
n = |k. Substituant les séries
(8.1.4) dans l’équation de Schrödinger H|c n = E n |c n , il vient :
(H 0 + aW)(|0 + a|1 + a
2
|2 + · · · )
= (E
0
n + aE
1
n + a
2 E
2
n + · · · )(|0 + a|1 + a
2
|2 + · · · )
( 8 .1.5)
Regroupons les termes selon les puissances successives de a, d’où :
H 0 |0 + a(H 0 |1 + W|0) + a
2 (H 0 |2 + W|1) + · · ·
= E
0
n |0 + a(E
0
n |1 + E
1
n |0) + a
2 (E
0
n |2 + E
1
n |1 + E
2
n |0) + · · ·
(8.1.6)
Pour que l’égalité soit vérifiée quel que soit a, on identifie les termes de même
puissance en a. Les termes d’ordre zéro : H 0 |0 = E
0
n |0 sont déjà vérifiés par hypothèse.
a) Énergie
Les termes de correction du premier ordre sont ceux en a, soit :
(H 0 − E
0
n )|1 + (W − E
1
n )|0 = 0
( 8 .1.7)
Le produit hermitien de (8.1.7) par le vecteur |0 s’écrit :
0|H 0 − E
0
n |1 + 0|W − E
1
n |0 = 0
( 8 .1.8)
8 • Méthodes d’approximation
Supposons connus les vecteurs propres |c
0
n et les valeurs propres E
0
n du spectre,
supposé discret, de l’hamiltonien non perturbé H 0 . On connaît donc les solutions
exactes, ou approchées, de l’équation de Schrödinger :
H 0 |c
0
n = E
0
n |c
0
n
(8.1.2)
Le problème à résoudre par la méthode des perturbations consiste à trouver de manière approchée les solutions de l’équation :
H|c n = (H 0 + V)|c n = E n |c n
(8.1.3)
donc de déterminer les valeurs propres E n et les vecteurs propres |c n de l’hamiltonien perturbé H.
8.1.2 Valeurs propres non dégénérées : correction du premier ordre
Nous supposerons que toutes les valeurs propres E
0
n sont non dégénérées et que les
vecteurs propres |c
0
n sont normés. La perturbation étant supposée faible, nous l’écrirons sous la forme V = aW avec a 1. Nous allons chercher à présent les valeurs
et les vecteurs propres de H sous forme de séries :
E n = E
0
n + aE
1
n + a
2 E
2
n + · · ·
|c n = |c
0
n + a|c
1
n + a
2
|c
2
n + ...
(8.1.4)
Afin d’alléger les notations, posons pour n fixé : |c
k
n = |k. Substituant les séries
(8.1.4) dans l’équation de Schrödinger H|c n = E n |c n , il vient :
(H 0 + aW)(|0 + a|1 + a
2
|2 + · · · )
= (E
0
n + aE
1
n + a
2 E
2
n + · · · )(|0 + a|1 + a
2
|2 + · · · )
( 8 .1.5)
Regroupons les termes selon les puissances successives de a, d’où :
H 0 |0 + a(H 0 |1 + W|0) + a
2 (H 0 |2 + W|1) + · · ·
= E
0
n |0 + a(E
0
n |1 + E
1
n |0) + a
2 (E
0
n |2 + E
1
n |1 + E
2
n |0) + · · ·
(8.1.6)
Pour que l’égalité soit vérifiée quel que soit a, on identifie les termes de même
puissance en a. Les termes d’ordre zéro : H 0 |0 = E
0
n |0 sont déjà vérifiés par hypothèse.
a) Énergie
Les termes de correction du premier ordre sont ceux en a, soit :
(H 0 − E
0
n )|1 + (W − E
1
n )|0 = 0
( 8 .1.7)
Le produit hermitien de (8.1.7) par le vecteur |0 s’écrit :
0|H 0 − E
0
n |1 + 0|W − E
1
n |0 = 0
( 8 .1.8)