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7 • Atome d’hydrogène
un opérateur hermitien :
K =
1
2m
(P × L − L × P) −
e
2 R
R
(2)
où m est la masse réduite de l’atome d’hydrogène. Démontrer que l’observable K est une constante du mouvement pour l’atome d’hydrogène.
Solution.
1. Le commutateur [P x , f (x)] a pour expression :
[P x , f (x)] = −i
∂f (x)
∂x
(3)
2. Compte tenu du commutateur (3) , on obtient les commutateurs suivants :
P x ,
x
r
= −i
y
2 + z
2
r 3
;
P y ,
x
r
= i
xy
r 3 ;
P z ,
x
r
= i
xz
r 3
(4)
L’hamiltonien de l’atome d’hydrogène est :
H =
P
2
2m
−
e
2
R
(5)
On en déduit, en utilisant les commutateurs (4) :
H,
e
2 X
R
= −
i e
2
2m
L ×
R
R 3 −
R
R 3 × L
x
(6)
Puisque les trois variables jouent des rôles symétriques, on obtient :
H,
e
2 R
R
= −
i e
2
2m
L ×
R
R 3 −
R
R 3 × L
(7)
3. Pour montrer que l’opérateur K est une constante du mouvement, il faut montrer que le
commutateur [H, K] est nul.
Calculons le commutateur [H, L × P − P × L]. La composante x de ce commutateur donne :
[H, (L × P − P × L) x ] = [H, (L y P z − L z P y )] − [H, (P y L z − P z L y )]
(8)
Compte tenu du fait que [H, L y ] = 0 et [H, L z ] = 0, et par suite de la symétrie des variables
x, y, z, on obtient :
[H, (L × P − P × L)] = i e
2
L ×
R
R 3 −
R
R 3 × L
(9)
L’expression (2) de l’opérateur K donne, compte tenu de (7) et (9) :
[H, K] =
H,
1
2m
(P × L − L × P) −
e
2 R
R
= 0
(10)
L’opérateur K est donc une constante du mouvement de l’électron dans l’atome d’hydrogène.
Outre l’énergie de l’atome, le système possède donc six constantes du mouvement : trois
composantes de L et trois de K. On peut montrer que ces six composantes forment une
algèbre de Lie du groupe SO(3) ⊗ SO(3) .