Exercices
183
Le groupe de symétrie de l’atome d’hydrogène est, d’après la question 4, le groupe
SO(3) ⊗ SO(3), ou un groupe isomorphe, dont SO(3) est seulement un sous-groupe.
Remarque : Le groupe SO(3) ⊗ SO(3) est isomorphe au groupe SO(4), groupe
des rotations dans un espace à quatre dimensions
. Si on ajoute l’inversion au
groupe SO(4), on obtient le groupe O(4) qui est le groupe de symétrie de
l’atome d’hydrogène.
La symétrie O(4) n’est valable que pour les états liés. Pour les états de diffusion, le groupe de symétrie de l’atome d’hydrogène est le groupe des transformations de Lorentz.
L’atome d’hydrogène a donc un groupe de symétrie qui ne représente évidemment pas une symétrie purement géométrique ; on dit qu’il s’agit d’une
symétrie dynamique de l’atome.
Exercice 7.5. Constantes du mouvement de l’atome d’hydrogène
L’étude, en mécanique classique, du mouvement d’une particule de masse
m dans un champ central en −1/r montre que la trajectoire est une ellipse ayant une position déterminée. Par contre, pour un potentiel central
arbitraire, même très peu différent de la forme coulombienne en −1/r, on
obtient une ellipse dont l’axe principal précesse, de sorte que la trajectoire
n’est pas fermée.
Cela suggère qu’il existe, pour un potentiel en −a/r avec a > 0, une
constante autre que l’énergie E et le moment cinétique l, qui peut être utilisée pour caractériser l’orientation de l’axe principal AA
de l’ellipse. C’est
le cas du vecteur constant
− →
K , appelé vecteur de Runge-Lenz (ou de LenzPauli), porté classiquement par l’axe AA
, et qui a pour expression :
−
→
K =
p × l
m
−
ar
r
(1)
L’étude de l’opérateur associé à ce vecteur, en mécanique quantique, va
nous montrer que cette observable est une constante du mouvement de
l’atome d’hydrogène.
Soit P l’opérateur impulsion de l’électron de l’atome d’hydrogène et L
l’opérateur de moment cinétique.
1. Calculer le commutateur [P x , f (x)] où P x est la composante de l’impulsion selon un axe Ox et f (x) une fonction quelconque.
2. On note H l’hamiltonien de l’atome d’hydrogène. Calculer le commutateur [H, e
2 R/R].
3. Afin d’établir la nouvelle constante du mouvement de l’atome d’hydrogène, on construit l’observable suivante qui est symétrisée afin d’obtenir
6. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).
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Le groupe de symétrie de l’atome d’hydrogène est, d’après la question 4, le groupe
SO(3) ⊗ SO(3), ou un groupe isomorphe, dont SO(3) est seulement un sous-groupe.
Remarque : Le groupe SO(3) ⊗ SO(3) est isomorphe au groupe SO(4), groupe
des rotations dans un espace à quatre dimensions
. Si on ajoute l’inversion au
groupe SO(4), on obtient le groupe O(4) qui est le groupe de symétrie de
l’atome d’hydrogène.
La symétrie O(4) n’est valable que pour les états liés. Pour les états de diffusion, le groupe de symétrie de l’atome d’hydrogène est le groupe des transformations de Lorentz.
L’atome d’hydrogène a donc un groupe de symétrie qui ne représente évidemment pas une symétrie purement géométrique ; on dit qu’il s’agit d’une
symétrie dynamique de l’atome.
Exercice 7.5. Constantes du mouvement de l’atome d’hydrogène
L’étude, en mécanique classique, du mouvement d’une particule de masse
m dans un champ central en −1/r montre que la trajectoire est une ellipse ayant une position déterminée. Par contre, pour un potentiel central
arbitraire, même très peu différent de la forme coulombienne en −1/r, on
obtient une ellipse dont l’axe principal précesse, de sorte que la trajectoire
n’est pas fermée.
Cela suggère qu’il existe, pour un potentiel en −a/r avec a > 0, une
constante autre que l’énergie E et le moment cinétique l, qui peut être utilisée pour caractériser l’orientation de l’axe principal AA
de l’ellipse. C’est
le cas du vecteur constant
− →
K , appelé vecteur de Runge-Lenz (ou de LenzPauli), porté classiquement par l’axe AA
, et qui a pour expression :
−
→
K =
p × l
m
−
ar
r
(1)
L’étude de l’opérateur associé à ce vecteur, en mécanique quantique, va
nous montrer que cette observable est une constante du mouvement de
l’atome d’hydrogène.
Soit P l’opérateur impulsion de l’électron de l’atome d’hydrogène et L
l’opérateur de moment cinétique.
1. Calculer le commutateur [P x , f (x)] où P x est la composante de l’impulsion selon un axe Ox et f (x) une fonction quelconque.
2. On note H l’hamiltonien de l’atome d’hydrogène. Calculer le commutateur [H, e
2 R/R].
3. Afin d’établir la nouvelle constante du mouvement de l’atome d’hydrogène, on construit l’observable suivante qui est symétrisée afin d’obtenir
6. J. HLADIK. Les spineurs en physique. Masson (1996).