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7 • Atome d’hydrogène
4. De quel groupe G n est-elle la représentation ?
5. Le résultat de la question précédente est-il compatible avec la symétrie
de rotation de l’atome d’hydrogène ?
Solution.
1. Pour une valeur donnée du nombre quantique azimutal l, on a (2l + 1) valeurs possibles du
nombre quantique magnétique m. D’autre part, pour n donné, les valeurs de l varient de 0 à
n − 1. Le nombre total de vecteurs d’état associés à un niveau d’énergie E n est donc égal à :
n−1
l=0
(2l + 1) =
2
n−1
l=1
l
+ n = (n − 1)n + n = n
2
(1)
2. La représentation G n est la somme des représentations D
l ayant pour espace support
l’ensemble des vecteurs d’état spécifiés par l, d’où :
G n =
n−1
l=0
⊕D
l = D
n−1
⊕ D
n−2
⊕ ... ⊕ D
0
(2)
3. Cherchons une expression de G n sous la forme :
G n = D
l
⊗ D
k
(3)
La décomposition de Clebsch-Gordan du produit direct D
l
⊗ D
k s’écrit :
D
l
⊗ D
k = D
l+k
⊕ D
l+k−1
⊕ · · · ⊕ D
|l−k|
(4)
Pour identifier la somme directe (2) à la décomposition (4), on doit avoir :
n − 1 = l + k ; |l − k| = 0
( 5 )
On obtient donc : l = k et l = (n − 1)/2, d’où la décomposition :
G n = D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 = D
n−1
⊕ D
n−2
⊕ · · · ⊕ D
0
(6)
Chaque représentation D
(n−1)/2 a pour dimension [2(n − 1)/2] + 1 = n. Le produit tensoriel
D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est donc un espace de dimension n
2 ce qui correspond au nombre de
vecteurs d’état associés à un niveau d’énergie E n .
4. Chaque représentation D
(n−1)/2 est une représentation irréductible du groupe SO(3). En
conséquence, G n = D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est une représentation du groupe SO(3) ⊗ SO(3).
Rappelons d’autre part le théorème suivant : Si deux groupes G et H ont respectivement des
représentations irréductibles G g et G h , alors le produit direct G g ⊗ G h est une représentation
irréductible du groupe G ⊗ H.
La représentation D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est donc une représentation irréductible du groupe
SO(3) ⊗ SO(3).
5. L’hamiltonien H de l’atome d’hydrogène admet pour groupe de symétrie SO(3). Selon
le théorème de Wigner, à une valeur propre E de l’hamiltonien H devrait donc correspondre
seulement (2l + 1) vecteurs d’état, puisque ceux-ci forment un espace vectoriel support pour
une représentation irréductible D
l de SO(3). Or la dégénérescence d’un niveau d’énergie,
égale à n
2 , montre que la symétrie de l’atome d’hydrogène n’est pas seulement géométrique.
7 • Atome d’hydrogène
4. De quel groupe G n est-elle la représentation ?
5. Le résultat de la question précédente est-il compatible avec la symétrie
de rotation de l’atome d’hydrogène ?
Solution.
1. Pour une valeur donnée du nombre quantique azimutal l, on a (2l + 1) valeurs possibles du
nombre quantique magnétique m. D’autre part, pour n donné, les valeurs de l varient de 0 à
n − 1. Le nombre total de vecteurs d’état associés à un niveau d’énergie E n est donc égal à :
n−1
l=0
(2l + 1) =
2
n−1
l=1
l
+ n = (n − 1)n + n = n
2
(1)
2. La représentation G n est la somme des représentations D
l ayant pour espace support
l’ensemble des vecteurs d’état spécifiés par l, d’où :
G n =
n−1
l=0
⊕D
l = D
n−1
⊕ D
n−2
⊕ ... ⊕ D
0
(2)
3. Cherchons une expression de G n sous la forme :
G n = D
l
⊗ D
k
(3)
La décomposition de Clebsch-Gordan du produit direct D
l
⊗ D
k s’écrit :
D
l
⊗ D
k = D
l+k
⊕ D
l+k−1
⊕ · · · ⊕ D
|l−k|
(4)
Pour identifier la somme directe (2) à la décomposition (4), on doit avoir :
n − 1 = l + k ; |l − k| = 0
( 5 )
On obtient donc : l = k et l = (n − 1)/2, d’où la décomposition :
G n = D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 = D
n−1
⊕ D
n−2
⊕ · · · ⊕ D
0
(6)
Chaque représentation D
(n−1)/2 a pour dimension [2(n − 1)/2] + 1 = n. Le produit tensoriel
D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est donc un espace de dimension n
2 ce qui correspond au nombre de
vecteurs d’état associés à un niveau d’énergie E n .
4. Chaque représentation D
(n−1)/2 est une représentation irréductible du groupe SO(3). En
conséquence, G n = D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est une représentation du groupe SO(3) ⊗ SO(3).
Rappelons d’autre part le théorème suivant : Si deux groupes G et H ont respectivement des
représentations irréductibles G g et G h , alors le produit direct G g ⊗ G h est une représentation
irréductible du groupe G ⊗ H.
La représentation D
(n−1)/2
⊗ D
(n−1)/2 est donc une représentation irréductible du groupe
SO(3) ⊗ SO(3).
5. L’hamiltonien H de l’atome d’hydrogène admet pour groupe de symétrie SO(3). Selon
le théorème de Wigner, à une valeur propre E de l’hamiltonien H devrait donc correspondre
seulement (2l + 1) vecteurs d’état, puisque ceux-ci forment un espace vectoriel support pour
une représentation irréductible D
l de SO(3). Or la dégénérescence d’un niveau d’énergie,
égale à n
2 , montre que la symétrie de l’atome d’hydrogène n’est pas seulement géométrique.