Exercices
181
Solution.
1. La transformée de Laplace d’une fonction F(x) est définie par :
f (p) =
∞
0
e
−px F(x) dx = L [F(x)], d’où L [x
n ] =
n!
p n+1
(1)
On vérifie aisément qu’on a la propriété suivante pour la transformation de Laplace :
f ( p + k) = L [e
−kx F(x)]. On a d’autre part :
L
d
n
dx n F(x)
= p
n f (p)
( 2 )
lorsque toutes les dérivées de F(x) sont nulles pour x = 0. Ces propriétés donnent, pour
k = −1 :
L [L n (x)] =
n! ( p − 1)
n
p n+1
= n!
1
p
1 −
1
p
n
(3)
2. Multipliant chaque membre de la relation (3) par t
n , on obtient, en effectuant la sommation
qu’on permute avec l’intégration :
L
∞
n=0
L n (x)
t
n
n!
=
∞
n=0
1
p
1 −
1
p
n
t
n =
1
1 − t
1
p +
t
1−t
(4)
On a la transformée de Laplace suivante : L [e
−ax ] = 1/( p + a). Posons a = t/(1 − t) ; le
dernier terme de (4) est donc la transformée de Laplace de :
1
1 − t
e
−xt/(1−t ) =
∞
n=0
L n (x)
t
n
n!
(5)
La série (5) apparaît comme le développement en série de Taylor de la fonction (1−t)
−1 e
−xt/(1−t)
au voisinage de t = 0. On a donc :
L n (x) =
d
n
dt n
1
1 − t
e
−xt/(1−t )
t=0
(6)
La fonction (1−t)
−1 e
−xt/(1−t) est appelée la fonction génératrice des polynômes de Laguerre.
Exercice 7.4. Symétrie dynamique de l’atome d’hydrogène
1. Calculer la dégénérescence d’un niveau d’énergie E n de l’atome d’hydrogène.
2. Soit D
l la représentation irréductible du groupe SO(3) ayant pour base
les états de l’atome d’hydrogène caractérisés par une valeur l du nombre
quantique azimutal. Soit G n la représentation ayant pour espace support
l’espace vectoriel E n des vecteurs d’états associés à un niveau d’énergie
E n . Écrire G n en fonction des représentations D
l .
3. En considérant l’expression de la représentation G n écrite précédemment comme une décomposition de Clebsch-Gordan d’un produit tensoriel
de deux représentations D
l , déterminer la dimension de chacune de ces
représentations.