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7 • Atome d’hydrogène
4. En reportant l’expression U = 2E dans l’équation (1), il vient :
2
2m e R 2
d
2
da 2 c(a) = E c(a)
( 2 )
Les solutions de l’équation (2) sont de la forme :
c k = c 0 e
±ika , avec k =
−2m e R 2 E/ 2
(3)
Pour que c k soit uniforme, c’est-à-dire tel que : c k (a) = c k (a + 2p), il faut que k soit entier,
k = n, d’où : 2m e R
2 E/
2 = −n
2 . La valeur de R est donnée par : U = 2E = −e
2 /R, soit
R = −e
2 /2E, d’où :
E n = −
m e e
4
2 2
1
n 2 ; n = 1, 2, 3, ...
(4)
5. Les rayons des orbites de Bohr sont donnés par :
R n = −
e
2
2E
=
2 n
2
m e e 2 ; pour n = 1, il vient : a 0 =
2
m e e 2 0, 529 Å
(5)
Exercice 7.2. Polynômes de Laguerre généralisés
Les polynômes de Laguerre sont définis par : L n (x) = e
x d
n
dx n (e
−x x
n ). Démontrer qu’on a :
L
k
n (x) =
d
k
dx k L n (x) =
n!
(n − k)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−k )
(1)
Solution.
Pour k = 1, on a :
dL n (x)/dx = ne
x d
n
dx n (e
−x x
n−1 ) =
n!
(n − 1)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−1 )
( 2 )
et la formule (1) est vérifiée.
Procédons par récurrence pour démontrer la formule demandée. On a :
d
k+1
dx k+1 L n (x) =
d
dx
n!
(n − k)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−k )
=
n!
(n − k − 1)!
e
x d
n
dx n (e
−x x
n−k−1 ) (3)
C’est la formule qu’on obtient directement en changeant k en k + 1 dans l’expression (1),
ce qui démontre la récurrence. Les polynômes L
k
n (x) sont appelés les polynômes de Laguerre
généralisés.
Exercice 7.3. Fonction génératrice des polynômes de Laguerre
1. Calculer la transformée de Laplace
du polynôme de Laguerre L n (x).
2. Calculer la transformée de Laplace de la série
n
L n (x) t
n /n!, où t est
un paramètre quelconque.
5. J. HLADIK. La transformation de Laplace à plusieurs variables. Masson (1969).