Exercices
179
Les niveaux d’énergie E n sont évidemment identiques à ceux obtenus en coordonnées sphériques. Le nombre quantique principal n est lié aux nombres quantiques
paraboliques par : n = n 1 + n 2 + |m| + 1.
b) Dégénérescence
Pour n donné, le nombre |m| peut parcourir n valeurs distinctes de 0 à n − 1, car
|m| n − 1. Pour n et |m| fixés, n 1 parcourt n − |m| valeurs de 0 à n − |m| − 1. De
plus, pour |m| donné, on a deux valeurs, m = ±|m|. Finalement, pour n donné, on
trouve qu’il correspond :
2
n−1
m=1
(n − m)
+ n = n
2
(7.4.6)
états quantiques. On retrouve naturellement la dégénérescence d’un niveau, g n = n
2 ,
obtenue précédemment en coordonnées sphériques.
EXERCICES
Exercice 7.1. Équation de Schrödinger pour l’atome de Bohr
On suppose que l’électron de l’atome d’hydrogène se meut selon une trajectoire circulaire plane de rayon R constant.
1. Écrire l’équation de Schrödinger des états stationnaires de l’électron, en
coordonnées polaires.
2. En utilisant la mécanique classique, écrire la relation d’équilibre de la
particule en mouvement.
3. Exprimer l’énergie cinétique classique T de l’électron en fonction de
son énergie potentielle U. En déduire l’expression de U en fonction de son
énergie totale E.
4. En remplaçant U par cette dernière expression dans l’équation de Schrödinger, déterminer les valeurs E n de l’énergie.
5. Calculer l’expression du rayon de Bohr qui est défini comme le rayon
du cercle correspondant à l’énergie minimale de l’électron.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger d’un rotateur plan en coordonnées (r, a) est pour r = R :
−
2
2m e R 2
d
2
da 2 + U
c(a) = E c(a)
( 1 )
2. L’équation d’équilibre entre la force centrifuge et celle due à l’attraction électrostatique
est : m e v
2 /R = e
2 /R
2 .
3. L’énergie cinétique est : T = m e v
2 /2 et l’énergie potentielle : U = −e
2 /R, d’où :
T = −U/2. L’énergie totale : E = T + U nous donne : U = 2E.
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Les niveaux d’énergie E n sont évidemment identiques à ceux obtenus en coordonnées sphériques. Le nombre quantique principal n est lié aux nombres quantiques
paraboliques par : n = n 1 + n 2 + |m| + 1.
b) Dégénérescence
Pour n donné, le nombre |m| peut parcourir n valeurs distinctes de 0 à n − 1, car
|m| n − 1. Pour n et |m| fixés, n 1 parcourt n − |m| valeurs de 0 à n − |m| − 1. De
plus, pour |m| donné, on a deux valeurs, m = ±|m|. Finalement, pour n donné, on
trouve qu’il correspond :
2
n−1
m=1
(n − m)
+ n = n
2
(7.4.6)
états quantiques. On retrouve naturellement la dégénérescence d’un niveau, g n = n
2 ,
obtenue précédemment en coordonnées sphériques.
EXERCICES
Exercice 7.1. Équation de Schrödinger pour l’atome de Bohr
On suppose que l’électron de l’atome d’hydrogène se meut selon une trajectoire circulaire plane de rayon R constant.
1. Écrire l’équation de Schrödinger des états stationnaires de l’électron, en
coordonnées polaires.
2. En utilisant la mécanique classique, écrire la relation d’équilibre de la
particule en mouvement.
3. Exprimer l’énergie cinétique classique T de l’électron en fonction de
son énergie potentielle U. En déduire l’expression de U en fonction de son
énergie totale E.
4. En remplaçant U par cette dernière expression dans l’équation de Schrödinger, déterminer les valeurs E n de l’énergie.
5. Calculer l’expression du rayon de Bohr qui est défini comme le rayon
du cercle correspondant à l’énergie minimale de l’électron.
Solution.
1. L’équation de Schrödinger d’un rotateur plan en coordonnées (r, a) est pour r = R :
−
2
2m e R 2
d
2
da 2 + U
c(a) = E c(a)
( 1 )
2. L’équation d’équilibre entre la force centrifuge et celle due à l’attraction électrostatique
est : m e v
2 /R = e
2 /R
2 .
3. L’énergie cinétique est : T = m e v
2 /2 et l’énergie potentielle : U = −e
2 /R, d’où :
T = −U/2. L’énergie totale : E = T + U nous donne : U = 2E.