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7 • Atome d’hydrogène
En revanche, lorsque l’atome d’hydrogène est plongé dans un champ électrique
extérieur
− →
E statique et uniforme, le champ de forces qui agit sur l’électron n’est plus
à symétrie sphérique. Le système de coordonnées paraboliques s’avère alors particulièrement adapté puisque, contrairement aux deux autres systèmes de coordonnées,
il privilégie une direction qui peut être choisie comme étant celle du champ
− →
E .
Nous allons étudier les premières étapes de l’utilisation des coordonnées paraboliques pour calculer les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène sans champ extérieur.
a) Coordonnées paraboliques
Les coordonnées paraboliques z, h, w sont définies en fonction des coordonnées
cartésiennes x, y, z par :
x =
zh cos w ; y =
zh sin w ; z =
1
2
(z − h)
(7.4.1)
avec 0 w < 2p ; 0 z < ∞ ; 0 h < ∞. Les normes des vecteurs de base du
repère naturel sont :
h 1 =
z + h
4z
; h 2 =
z + h
4h
; h 3 =
zh
(7.4.2)
b) Équation de Schrödinger
L’énergie potentielle électron-proton s’écrit en coordonnées paraboliques :
U(r) = −
e
2
r
= −
2e
2
z + h
(7.4.3)
L’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène revêt alors la forme :
−
2
2
m(z + h)
∂
∂z
(z
∂
∂z
) +
∂
∂h
(h
∂
∂h
)
c −
2
2mzh
∂
2 c
∂w 2 −
2e
2
z + h
c = Ec (7.4.4)
ainsi que le montre un long calcul classique.
7.4.2 Solutions de l’équation de Schrödinger
La méthode de séparation des variables peut être utilisée en cherchant les fonctions
propres sous la forme :
c(z, h, w) = f 1 (z)f 2 (h)e
imw
(7.4.5)
a) Nombres quantiques « paraboliques »
La résolution de l’équation de Schrödinger conduit à des états stationnaires spécifiés par trois nombres quantiques : les nombres quantiques paraboliques n 1 , n 2 ,
m. Les nombres n 1 et n 2 sont les entiers non négatifs ; m est le nombre quantique
magnétique.
7 • Atome d’hydrogène
En revanche, lorsque l’atome d’hydrogène est plongé dans un champ électrique
extérieur
− →
E statique et uniforme, le champ de forces qui agit sur l’électron n’est plus
à symétrie sphérique. Le système de coordonnées paraboliques s’avère alors particulièrement adapté puisque, contrairement aux deux autres systèmes de coordonnées,
il privilégie une direction qui peut être choisie comme étant celle du champ
− →
E .
Nous allons étudier les premières étapes de l’utilisation des coordonnées paraboliques pour calculer les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène sans champ extérieur.
a) Coordonnées paraboliques
Les coordonnées paraboliques z, h, w sont définies en fonction des coordonnées
cartésiennes x, y, z par :
x =
zh cos w ; y =
zh sin w ; z =
1
2
(z − h)
(7.4.1)
avec 0 w < 2p ; 0 z < ∞ ; 0 h < ∞. Les normes des vecteurs de base du
repère naturel sont :
h 1 =
z + h
4z
; h 2 =
z + h
4h
; h 3 =
zh
(7.4.2)
b) Équation de Schrödinger
L’énergie potentielle électron-proton s’écrit en coordonnées paraboliques :
U(r) = −
e
2
r
= −
2e
2
z + h
(7.4.3)
L’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène revêt alors la forme :
−
2
2
m(z + h)
∂
∂z
(z
∂
∂z
) +
∂
∂h
(h
∂
∂h
)
c −
2
2mzh
∂
2 c
∂w 2 −
2e
2
z + h
c = Ec (7.4.4)
ainsi que le montre un long calcul classique.
7.4.2 Solutions de l’équation de Schrödinger
La méthode de séparation des variables peut être utilisée en cherchant les fonctions
propres sous la forme :
c(z, h, w) = f 1 (z)f 2 (h)e
imw
(7.4.5)
a) Nombres quantiques « paraboliques »
La résolution de l’équation de Schrödinger conduit à des états stationnaires spécifiés par trois nombres quantiques : les nombres quantiques paraboliques n 1 , n 2 ,
m. Les nombres n 1 et n 2 sont les entiers non négatifs ; m est le nombre quantique
magnétique.