7.4 Étude en coordonnées paraboliques
177
compte tenu de (7.3.41), puis (7.3.33) :
− →
L = m
r×j d
3 r = m
rj w sin u d
3 r e z = m
|c nlm |
2 d
3 r e z = me z (7.3.42)
On en déduit, compte tenu de (7.3.37), que les vecteurs
− →
M et
− →
L sont antiparallèles,
et on a la relation :
− →
M = −
m B
− →
L
(7.3.43)
Le signe négatif ne saurait nous étonner car le courant électrique, par suite de la
charge négative de l’électron, circule en sens inverse du mouvement annulaire de la
particule.
De manière générale, la relation entre les modules du moment magnétique
− →
M d’un
système et de son moment cinétique
− →
L s’écrit sous la forme :
− →
M = g
− →
L
(7.3.44)
où le coefficient de proportionnalité g est appelé le rapport gyromagnétique. Si le
moment magnétique orbital de l’atome d’hydrogène est mesuré en unité m B et le
moment cinétique en unité , le rapport gyromagnétique de l’électron est égal à un.
7.3.7 Valeurs moyennes des puissances de r
On a souvent à utiliser les valeurs moyennes des différentes puissances de r définies par :
R
l
= n, l, m|R
l
|n, l, m =
c
∗
nlm r
l c nlm r
2 sin u du dw dr
(7.3.45)
Comme les fonctions Y lm (u, w) sont normalisées, on a :
R
l
=
R
2
nl (r) r
l+2 dr
(7.3.46)
Le calcul de ces intégrales donne, pour un ion hydrogénoïde dont le noyau a une
charge Ze 0 :
R =
a 0
2Z
3n
2
− l(l + 1)
; R
2
=
a
2
0
2Z 2
5n
2 + 1 − 3l(l + 1)
n
2
R
−1
=
Z
a 0 n 2 ; R
−2
=
Z
2
a 2
0 n 3
1
l +
1
2
; R
−3
=
Z
3
a
3
0 n 3
1
l(l + 1)(l +
1
2 )
(7.3.47)
7.4 ÉTUDE EN COORDONNÉES PARABOLIQUES
7.4.1 L’atome d’hydrogène en coordonnées paraboliques
Il n’y a pas que le système de coordonnées sphériques qui permet de résoudre de
manière exacte l’équation de Shrödinger de l’atome d’hydrogène. Par suite de ses
nombreuses constantes du mouvement, ce système quantique a également des solutions exactes en coordonnées cartésiennes et paraboliques.
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compte tenu de (7.3.41), puis (7.3.33) :
− →
L = m
r×j d
3 r = m
rj w sin u d
3 r e z = m
|c nlm |
2 d
3 r e z = me z (7.3.42)
On en déduit, compte tenu de (7.3.37), que les vecteurs
− →
M et
− →
L sont antiparallèles,
et on a la relation :
− →
M = −
m B
− →
L
(7.3.43)
Le signe négatif ne saurait nous étonner car le courant électrique, par suite de la
charge négative de l’électron, circule en sens inverse du mouvement annulaire de la
particule.
De manière générale, la relation entre les modules du moment magnétique
− →
M d’un
système et de son moment cinétique
− →
L s’écrit sous la forme :
− →
M = g
− →
L
(7.3.44)
où le coefficient de proportionnalité g est appelé le rapport gyromagnétique. Si le
moment magnétique orbital de l’atome d’hydrogène est mesuré en unité m B et le
moment cinétique en unité , le rapport gyromagnétique de l’électron est égal à un.
7.3.7 Valeurs moyennes des puissances de r
On a souvent à utiliser les valeurs moyennes des différentes puissances de r définies par :
R
l
= n, l, m|R
l
|n, l, m =
c
∗
nlm r
l c nlm r
2 sin u du dw dr
(7.3.45)
Comme les fonctions Y lm (u, w) sont normalisées, on a :
R
l
=
R
2
nl (r) r
l+2 dr
(7.3.46)
Le calcul de ces intégrales donne, pour un ion hydrogénoïde dont le noyau a une
charge Ze 0 :
R =
a 0
2Z
3n
2
− l(l + 1)
; R
2
=
a
2
0
2Z 2
5n
2 + 1 − 3l(l + 1)
n
2
R
−1
=
Z
a 0 n 2 ; R
−2
=
Z
2
a 2
0 n 3
1
l +
1
2
; R
−3
=
Z
3
a
3
0 n 3
1
l(l + 1)(l +
1
2 )
(7.3.47)
7.4 ÉTUDE EN COORDONNÉES PARABOLIQUES
7.4.1 L’atome d’hydrogène en coordonnées paraboliques
Il n’y a pas que le système de coordonnées sphériques qui permet de résoudre de
manière exacte l’équation de Shrödinger de l’atome d’hydrogène. Par suite de ses
nombreuses constantes du mouvement, ce système quantique a également des solutions exactes en coordonnées cartésiennes et paraboliques.