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7 • Atome d’hydrogène
Ce courant élémentaire, circulant le long d’un cercle de surface S , engendre un moment magnétique d
− →
M n’ayant qu’une seule composante dM z , soit :
dM z = dI w S = −e 0 j w S ds
(7.3.35)
La surface ds se trouvant au point défini par r, u, le rayon du cercle est égal à r sin u
et S = pr
2 sin
2 u. L’expression (7.3.33) de la composante j w donne :
dM z = −(e 0 m/m)|c nlm |
2 pr sin uds
(7.3.36)
Or une rotation de 2p de la surface ds autour de Oz engendre un volume élémentaire
dV = 2pr sin uds. L’intégration sur tout l’espace nous donne ainsi :
M = M z = −
e 0 m
2m
|c nlm |
2 dV = −
e 0 m
2m
(7.3.37)
Approximant m par la masse m e de l’électron et introduisant le magnéton de Bohr :
m B =
e 0
2m e
(7.3.38)
dans la formule (7.3.37), on obtient pour valeur du moment magnétique orbital :
− →
M = |M z | = m B |m|
(7.3.39)
Le magnéton de Bohr donne l’ordre de grandeur du moment magnétique de l’électron
associé à son mouvement orbital.
b) Moment cinétique
Du point de vue mécanique, le courant électrique annulaire doit, par suite de la rotation rapide de l’électron, posséder certaines propriétés d’une toupie. Il doit y avoit,
par conséquent, une relation entre les propriétés magnétiques de l’électron, représentées par son moment magnétique
− →
M , et ses propriétés mécaniques, décrites par le
moment cinétique
− →
L .
Pour déterminer cette relation, considérons un élément de volume d
3 r, situé en un
point r, et soit dp la quantité de mouvement de la masse élémentaire dm contenue
dans ce volume. La masse volumique du fluide représentant l’électron au point r est
donnée par : l = m|c nlm |
2 . La densité de courant classique de la masse dm est égale
à j = |c nlm |
2 v ainsi qu’on l’a vu précédemment. La contribution de dm au moment
cinétique par rapport à l’origine est :
d
− →
L = r × dp = r × dmv = r × lvd
3 r = r × m|c nlm |
2 vd
3 r = r × mjd
3 r (7.3.40)
Par suite des relations r = re r , j = j w e w et e u = cos u cos w e x +cos u sin w e y −sin u e z ,
la quantité r × j se développe comme suit :
r × j = −rj w e u = −rj w (cos u cos w e x + cos u sin w e y − sin u e z )
(7.3.41)
Il en résulte que, par suite de la symétrie axiale, la résultante de tous les moments
élémentaires d
− →
L est dirigée selon l’axe Oz. On obtient après intégration de (7.3.40),
7 • Atome d’hydrogène
Ce courant élémentaire, circulant le long d’un cercle de surface S , engendre un moment magnétique d
− →
M n’ayant qu’une seule composante dM z , soit :
dM z = dI w S = −e 0 j w S ds
(7.3.35)
La surface ds se trouvant au point défini par r, u, le rayon du cercle est égal à r sin u
et S = pr
2 sin
2 u. L’expression (7.3.33) de la composante j w donne :
dM z = −(e 0 m/m)|c nlm |
2 pr sin uds
(7.3.36)
Or une rotation de 2p de la surface ds autour de Oz engendre un volume élémentaire
dV = 2pr sin uds. L’intégration sur tout l’espace nous donne ainsi :
M = M z = −
e 0 m
2m
|c nlm |
2 dV = −
e 0 m
2m
(7.3.37)
Approximant m par la masse m e de l’électron et introduisant le magnéton de Bohr :
m B =
e 0
2m e
(7.3.38)
dans la formule (7.3.37), on obtient pour valeur du moment magnétique orbital :
− →
M = |M z | = m B |m|
(7.3.39)
Le magnéton de Bohr donne l’ordre de grandeur du moment magnétique de l’électron
associé à son mouvement orbital.
b) Moment cinétique
Du point de vue mécanique, le courant électrique annulaire doit, par suite de la rotation rapide de l’électron, posséder certaines propriétés d’une toupie. Il doit y avoit,
par conséquent, une relation entre les propriétés magnétiques de l’électron, représentées par son moment magnétique
− →
M , et ses propriétés mécaniques, décrites par le
moment cinétique
− →
L .
Pour déterminer cette relation, considérons un élément de volume d
3 r, situé en un
point r, et soit dp la quantité de mouvement de la masse élémentaire dm contenue
dans ce volume. La masse volumique du fluide représentant l’électron au point r est
donnée par : l = m|c nlm |
2 . La densité de courant classique de la masse dm est égale
à j = |c nlm |
2 v ainsi qu’on l’a vu précédemment. La contribution de dm au moment
cinétique par rapport à l’origine est :
d
− →
L = r × dp = r × dmv = r × lvd
3 r = r × m|c nlm |
2 vd
3 r = r × mjd
3 r (7.3.40)
Par suite des relations r = re r , j = j w e w et e u = cos u cos w e x +cos u sin w e y −sin u e z ,
la quantité r × j se développe comme suit :
r × j = −rj w e u = −rj w (cos u cos w e x + cos u sin w e y − sin u e z )
(7.3.41)
Il en résulte que, par suite de la symétrie axiale, la résultante de tous les moments
élémentaires d
− →
L est dirigée selon l’axe Oz. On obtient après intégration de (7.3.40),