7.3 Étude en coordonnées sphériques
175
7.3.6 Courant dans l’atome d’hydrogène
Utilisons l’expression du courant de probabilité j d’une particule de masse m :
j =
i
2m
(c∇c
∗
− c
∗
∇c)
( 7 .3.29)
afin d’étudier la circulation de l’électron autour du proton. Soient {e r , e u , e w } les
vecteurs unitaires du repère naturel en coordonnées sphériques. On a :
j = j r e r + j u e u + j w e w
(7.3.30)
Les composantes de j sont obtenues à partir de celles de l’opérateur ∇ qui a pour
expression en coordonnées sphériques :
∇ =
∂
∂r
e r +
1
r
∂
∂u
e u +
1
r sin u
∂
∂w
e w
(7.3.31)
Les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène sont de la forme :
c nlm (r, u, w) = R nl (r)P
m
l (u)e
imw
(7.3.32)
Les fonctions R nl (r) et P
m
l (u) étant des fonctions réelles, les dérivées de c nlm et de
c
∗
nlm par rapport à r et u sont identiques. En conséquence, les composantes j r et j u
sont nulles. Le calcul de j w nous donne :
j w =
i
2m
1
r sin u
c nlm
∂c ∗
nlm
∂w
− c
∗
nlm
∂c nlm
∂w
=
m
mr sin u
|c nlm |
2
(7.3.33)
Le courant de probabilité est donc représenté par un champ de vecteurs tangents aux
cercles centrés sur l’axe Oz. On remarque que pour m = 0, le courant de probabilité
est nul en tout point de l’espace.
La formule (7.3.33) peut être interprétée comme l’analogue, en termes de probabilité, de la formule classique de la mécanique des fluides ou de l’électromagnétisme :
j = rv, où r représente respectivement la masse ou la charge volumiques. Dans le
cas présent, r doit en effet représenter la densité de probabilité de présence de l’électron dans l’élément de volume dont la position est définie par le rayon-vecteur r, soit
r = |c nlm (r, u, w)|
2 , alors que la vitesse du fluide de probabilité à cet endroit est :
v = ( m/mr sin u)e w .
a) Moment magnétique orbital
z
O
S
r
ds
u
d I w
Figure 7.2
La circulation de l’électron autour du proton est équivalente à un courant électrique qu’on obtient en multipliant le vecteur j par la charge de l’électron. Notons ds l’aire d’une surface perpendiculaire à la direction du vecteur e w (Fig. 7.2). Le vecteur intensité
de courant électrique passant à travers ds s’écrit :
dI w = dI w e w = −e 0 j w dse w
(7.3.34)
175
7.3.6 Courant dans l’atome d’hydrogène
Utilisons l’expression du courant de probabilité j d’une particule de masse m :
j =
i
2m
(c∇c
∗
− c
∗
∇c)
( 7 .3.29)
afin d’étudier la circulation de l’électron autour du proton. Soient {e r , e u , e w } les
vecteurs unitaires du repère naturel en coordonnées sphériques. On a :
j = j r e r + j u e u + j w e w
(7.3.30)
Les composantes de j sont obtenues à partir de celles de l’opérateur ∇ qui a pour
expression en coordonnées sphériques :
∇ =
∂
∂r
e r +
1
r
∂
∂u
e u +
1
r sin u
∂
∂w
e w
(7.3.31)
Les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène sont de la forme :
c nlm (r, u, w) = R nl (r)P
m
l (u)e
imw
(7.3.32)
Les fonctions R nl (r) et P
m
l (u) étant des fonctions réelles, les dérivées de c nlm et de
c
∗
nlm par rapport à r et u sont identiques. En conséquence, les composantes j r et j u
sont nulles. Le calcul de j w nous donne :
j w =
i
2m
1
r sin u
c nlm
∂c ∗
nlm
∂w
− c
∗
nlm
∂c nlm
∂w
=
m
mr sin u
|c nlm |
2
(7.3.33)
Le courant de probabilité est donc représenté par un champ de vecteurs tangents aux
cercles centrés sur l’axe Oz. On remarque que pour m = 0, le courant de probabilité
est nul en tout point de l’espace.
La formule (7.3.33) peut être interprétée comme l’analogue, en termes de probabilité, de la formule classique de la mécanique des fluides ou de l’électromagnétisme :
j = rv, où r représente respectivement la masse ou la charge volumiques. Dans le
cas présent, r doit en effet représenter la densité de probabilité de présence de l’électron dans l’élément de volume dont la position est définie par le rayon-vecteur r, soit
r = |c nlm (r, u, w)|
2 , alors que la vitesse du fluide de probabilité à cet endroit est :
v = ( m/mr sin u)e w .
a) Moment magnétique orbital
z
O
S
r
ds
u
d I w
Figure 7.2
La circulation de l’électron autour du proton est équivalente à un courant électrique qu’on obtient en multipliant le vecteur j par la charge de l’électron. Notons ds l’aire d’une surface perpendiculaire à la direction du vecteur e w (Fig. 7.2). Le vecteur intensité
de courant électrique passant à travers ds s’écrit :
dI w = dI w e w = −e 0 j w dse w
(7.3.34)