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1 • Sources de la mécanique quantique
formé des termes d’énergie cinétique des deux particules et de leur énergie potentielle d’attraction coulombienne, soit une énergie totale :
E =
P
2
2m p
+
p
2
2m e
−
e
2
0
4p´ 0 |R − r|
(1.1.18)
Notons D R le laplacien relatif aux coordonnées du vecteur position R et D r le laplacien relatif aux coordonnées de r. Les règles de correspondance nous donnent alors
pour l’équation de Schrödinger du système :
i
∂c(R, r, t)
∂t
=
−
2
2m p
D R −
2
2m e
D r −
e
2
0
4p´ 0 |R − r|
c(R, r, t)
(1.1.19)
Remarque : L’application de la règle de correspondance ne peut se faire simplement que lorsque les coordonnées choisies sont des coordonnées cartésiennes. Ceci assure automatiquement l’invariance de forme de l’équation de
Schrödinger lors d’une rotation du système de référence.
1.1.5 Propriétés de l’équation de Schrödinger
Les équations d’onde qu’on obtient par les règles de correspondance sont des équations linéaires et homogènes. Si c 1 et c 2 sont des solutions de ces équations, toute
combinaison linéaire l 1 c 1 + l 2 c 2 de ces fonctions en est également solution. Ainsi
ces solutions possèdent la propriété de superposition, caractéristique des ondes en
général.
Les équations de Schrödinger dépendant du temps sont des équations différentielles du premier ordre par rapport au temps. En conséquence, la connaissance de
c à un instant initial donné permet de déterminer toute son évolution ultérieure. Ceci
montre que l’état dynamique du système est entièrement déterminé par la fonction c.
Enfin nous verrons que le théorème d’Ehrenfest permet de montrer que les équations de la mécanique classique découlent de l’équation de Schrödinger dans certaines conditions limites qui sont satisfaites notamment par la plupart des systèmes
macroscopiques.
1.1.6 L’équation de Schrödinger comme postulat
Il est bien évident que la manière de former une équation de Schrödinger ne constitue pas une démonstration de celle-ci. Comme toute équation de la physique, elle
doit être postulée et seuls les succès de ses prédictions, confrontées aux résultats
expérimentaux, confirmeront sa validité.
La manière dont Schrödinger établit sa première équation
est d’ailleurs totalement différente de la façon dont nous l’avons fait ici et relève pour une grande part
de l’intuition. D’autres méthodes plus sophistiquées permettent également d’obtenir
l’équation de Schrödinger mais elles reposent toutes sur un postulat inévitable.
4. E. SCHRÖDINGER. Annalen der Physik (4), vol. 79 (1926).
1 • Sources de la mécanique quantique
formé des termes d’énergie cinétique des deux particules et de leur énergie potentielle d’attraction coulombienne, soit une énergie totale :
E =
P
2
2m p
+
p
2
2m e
−
e
2
0
4p´ 0 |R − r|
(1.1.18)
Notons D R le laplacien relatif aux coordonnées du vecteur position R et D r le laplacien relatif aux coordonnées de r. Les règles de correspondance nous donnent alors
pour l’équation de Schrödinger du système :
i
∂c(R, r, t)
∂t
=
−
2
2m p
D R −
2
2m e
D r −
e
2
0
4p´ 0 |R − r|
c(R, r, t)
(1.1.19)
Remarque : L’application de la règle de correspondance ne peut se faire simplement que lorsque les coordonnées choisies sont des coordonnées cartésiennes. Ceci assure automatiquement l’invariance de forme de l’équation de
Schrödinger lors d’une rotation du système de référence.
1.1.5 Propriétés de l’équation de Schrödinger
Les équations d’onde qu’on obtient par les règles de correspondance sont des équations linéaires et homogènes. Si c 1 et c 2 sont des solutions de ces équations, toute
combinaison linéaire l 1 c 1 + l 2 c 2 de ces fonctions en est également solution. Ainsi
ces solutions possèdent la propriété de superposition, caractéristique des ondes en
général.
Les équations de Schrödinger dépendant du temps sont des équations différentielles du premier ordre par rapport au temps. En conséquence, la connaissance de
c à un instant initial donné permet de déterminer toute son évolution ultérieure. Ceci
montre que l’état dynamique du système est entièrement déterminé par la fonction c.
Enfin nous verrons que le théorème d’Ehrenfest permet de montrer que les équations de la mécanique classique découlent de l’équation de Schrödinger dans certaines conditions limites qui sont satisfaites notamment par la plupart des systèmes
macroscopiques.
1.1.6 L’équation de Schrödinger comme postulat
Il est bien évident que la manière de former une équation de Schrödinger ne constitue pas une démonstration de celle-ci. Comme toute équation de la physique, elle
doit être postulée et seuls les succès de ses prédictions, confrontées aux résultats
expérimentaux, confirmeront sa validité.
La manière dont Schrödinger établit sa première équation
est d’ailleurs totalement différente de la façon dont nous l’avons fait ici et relève pour une grande part
de l’intuition. D’autres méthodes plus sophistiquées permettent également d’obtenir
l’équation de Schrödinger mais elles reposent toutes sur un postulat inévitable.
4. E. SCHRÖDINGER. Annalen der Physik (4), vol. 79 (1926).