1.1 Fonction d’onde
5
U(r) identique à son expression classique. L’énergie totale classique de la particule
s’écrit :
E =
p
2
2m
+ U(r)
( 1 .1.12)
Les règles de correspondance donnent alors pour l’équation de Schrödinger décrivant
l’évolution des états de la particule :
i
∂c(r, t)
∂t
=
−
2
2m
D + U(r)
c(r, t)
( 1 .1.13)
En mécanique classique, l’énergie (p
2 /2m) + U s’appelle l’hamiltonien du système.
En mécanique quantique, il lui correspond l’opérateur :
H =
−
2
2m
D + U
(1.1.14)
Ce dernier est appelé l’opérateur hamiltonien ou plus brièvement l’hamiltonien du
système. L’équation (1.1.13) s’écrit alors :
i
∂c(r, t)
∂t
= Hc(r, t)
( 1 .1.15)
1.1.4 Règle générale de formation de l’équation de Schrödinger
Considérons un système dynamique formé de N particules. Notons x i , y i , z i les coordonnées cartésiennes de la particule i. L’hamiltonien classique H du système est
une fonction qui dépend de leurs 3N coordonnées x 1 , . . ., z N , de leurs impulsions
respectives p 1 , . . ., p 3N et du temps t. L’énergie totale E du système est :
E = H(x 1 , . . . , z N ; p 1 , . . . , p 3N ; t)
( 1 .1.16)
L’état dynamique du système quantique est alors représenté par une fonction
c(x 1 , . . . , z N , t) définie dans l’espace à 3N dimensions constitué par les coordonnées
x 1 , . . . , z N et appelé espace de configuration. L’équation de Schrödinger du système
s’obtient alors en effectuant dans l’équation (1.1.16) les substitutions des grandeurs
classiques par leurs opérateurs correspondants puis en faisant agir ces opérateurs sur
la fonction c(x 1 , . . . , z N , t). On obtient ainsi l’équation de Schrödinger :
Hc(x 1 , . . . , z N , t) = i
∂
∂t
c(x 1 , . . . , z N , t)
( 1 .1.17)
➤ Atome d’hydrogène
Pour illustrer ce processus, considérons un atome d’hydrogène formé d’un noyau de
charge e 0 et de masse m p et d’un électron de charge −e 0 et de masse m e .
Notons r le vecteur position de l’électron ; R, celui du noyau ; p et P les impulsions respectives de l’électron et du noyau. L’hamiltonien classique du système est
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U(r) identique à son expression classique. L’énergie totale classique de la particule
s’écrit :
E =
p
2
2m
+ U(r)
( 1 .1.12)
Les règles de correspondance donnent alors pour l’équation de Schrödinger décrivant
l’évolution des états de la particule :
i
∂c(r, t)
∂t
=
−
2
2m
D + U(r)
c(r, t)
( 1 .1.13)
En mécanique classique, l’énergie (p
2 /2m) + U s’appelle l’hamiltonien du système.
En mécanique quantique, il lui correspond l’opérateur :
H =
−
2
2m
D + U
(1.1.14)
Ce dernier est appelé l’opérateur hamiltonien ou plus brièvement l’hamiltonien du
système. L’équation (1.1.13) s’écrit alors :
i
∂c(r, t)
∂t
= Hc(r, t)
( 1 .1.15)
1.1.4 Règle générale de formation de l’équation de Schrödinger
Considérons un système dynamique formé de N particules. Notons x i , y i , z i les coordonnées cartésiennes de la particule i. L’hamiltonien classique H du système est
une fonction qui dépend de leurs 3N coordonnées x 1 , . . ., z N , de leurs impulsions
respectives p 1 , . . ., p 3N et du temps t. L’énergie totale E du système est :
E = H(x 1 , . . . , z N ; p 1 , . . . , p 3N ; t)
( 1 .1.16)
L’état dynamique du système quantique est alors représenté par une fonction
c(x 1 , . . . , z N , t) définie dans l’espace à 3N dimensions constitué par les coordonnées
x 1 , . . . , z N et appelé espace de configuration. L’équation de Schrödinger du système
s’obtient alors en effectuant dans l’équation (1.1.16) les substitutions des grandeurs
classiques par leurs opérateurs correspondants puis en faisant agir ces opérateurs sur
la fonction c(x 1 , . . . , z N , t). On obtient ainsi l’équation de Schrödinger :
Hc(x 1 , . . . , z N , t) = i
∂
∂t
c(x 1 , . . . , z N , t)
( 1 .1.17)
➤ Atome d’hydrogène
Pour illustrer ce processus, considérons un atome d’hydrogène formé d’un noyau de
charge e 0 et de masse m p et d’un électron de charge −e 0 et de masse m e .
Notons r le vecteur position de l’électron ; R, celui du noyau ; p et P les impulsions respectives de l’électron et du noyau. L’hamiltonien classique du système est