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1 • Sources de la mécanique quantique
Substituons v et k qui figurent dans (1.1.1) à l’aide des relations précédentes ; on
obtient :
c(r, t) =
f (v) e
−i(E t−p·r)/ dv
(1.1.7)
Calculons les dérivées de la fonction c(r, t) en dérivant sous le signe d’intégration.
La dérivée première par rapport à t est immédiate. D’autre part, le produit scalaire
p · r s’écrit : p · r = p x x + p y y + p z z et les dérivées secondes par rapport aux variables
x, y, z se calculent aisément. Additionnons ces différentes dérivées ; on obtient :
i
∂c
∂t
+
2
2m
Dc =
f (v)
E −
p
2
2m
e
−i(Et−p·r)/ dv
(1.1.8)
où D est l’opérateur laplacien. Nous avons supposé implicitement que la particule
se déplace librement et par suite son énergie est telle que E = p
2 /2m. Le second
membre de l’égalité (1.1.8) est donc nul et l’on obtient :
i
∂c(r, t)
∂t
= −
2
2m
Dc(r, t)
( 1 .1.9)
C’est l’équation de Schrödinger pour une particule libre dans un état quelconque
d’énergie.
1.1.3 Règles de correspondance
La comparaison de l’équation classique E = p
2 /2m avec celle de Schrödinger (1.1.9)
montre qu’à chaque grandeur classique correspond un opérateur différentiel agissant
sur la fonction c.
Ainsi, l’énergie E est représentée par l’opérateur i ∂/∂t. D’autre part, la quantité p
2 est représentée par l’opérateur −
2 D ; ce dernier pouvant encore s’écrire
−
2 D = (−i ∇)
2 , on obtient la règle de correspondance :
p
2
→ −
2 D ; p → − i ∇
(1.1.10)
On a donc les correspondances suivantes pour l’énergie et les composantes p x , p y , p z
de p :
E → i
∂
∂t
; p x → −i
∂
∂x
; p y → −i
∂
∂y
; p z → −i
∂
∂z
(1.1.11)
On peut donc former l’équation de Schrödinger (1.1.9) à partir de l’équation
E = p
2 /2m dans laquelle on remplace chaque grandeur classique par son opérateur correspondant qu’on fait agir sur une fonction c(r, t). La généralisation des
règles de correspondance va permettre de créer alors l’équation de Schrödinger d’un
système quantique quelconque.
➤ Particule dans un potentiel scalaire
Pour former l’équation d’onde d’une particule dont l’énergie potentielle est U(r), on
étend la règle de correspondance. À l’énergie U(r), on fait correspondre l’opérateur
1 • Sources de la mécanique quantique
Substituons v et k qui figurent dans (1.1.1) à l’aide des relations précédentes ; on
obtient :
c(r, t) =
f (v) e
−i(E t−p·r)/ dv
(1.1.7)
Calculons les dérivées de la fonction c(r, t) en dérivant sous le signe d’intégration.
La dérivée première par rapport à t est immédiate. D’autre part, le produit scalaire
p · r s’écrit : p · r = p x x + p y y + p z z et les dérivées secondes par rapport aux variables
x, y, z se calculent aisément. Additionnons ces différentes dérivées ; on obtient :
i
∂c
∂t
+
2
2m
Dc =
f (v)
E −
p
2
2m
e
−i(Et−p·r)/ dv
(1.1.8)
où D est l’opérateur laplacien. Nous avons supposé implicitement que la particule
se déplace librement et par suite son énergie est telle que E = p
2 /2m. Le second
membre de l’égalité (1.1.8) est donc nul et l’on obtient :
i
∂c(r, t)
∂t
= −
2
2m
Dc(r, t)
( 1 .1.9)
C’est l’équation de Schrödinger pour une particule libre dans un état quelconque
d’énergie.
1.1.3 Règles de correspondance
La comparaison de l’équation classique E = p
2 /2m avec celle de Schrödinger (1.1.9)
montre qu’à chaque grandeur classique correspond un opérateur différentiel agissant
sur la fonction c.
Ainsi, l’énergie E est représentée par l’opérateur i ∂/∂t. D’autre part, la quantité p
2 est représentée par l’opérateur −
2 D ; ce dernier pouvant encore s’écrire
−
2 D = (−i ∇)
2 , on obtient la règle de correspondance :
p
2
→ −
2 D ; p → − i ∇
(1.1.10)
On a donc les correspondances suivantes pour l’énergie et les composantes p x , p y , p z
de p :
E → i
∂
∂t
; p x → −i
∂
∂x
; p y → −i
∂
∂y
; p z → −i
∂
∂z
(1.1.11)
On peut donc former l’équation de Schrödinger (1.1.9) à partir de l’équation
E = p
2 /2m dans laquelle on remplace chaque grandeur classique par son opérateur correspondant qu’on fait agir sur une fonction c(r, t). La généralisation des
règles de correspondance va permettre de créer alors l’équation de Schrödinger d’un
système quantique quelconque.
➤ Particule dans un potentiel scalaire
Pour former l’équation d’onde d’une particule dont l’énergie potentielle est U(r), on
étend la règle de correspondance. À l’énergie U(r), on fait correspondre l’opérateur