1.1 Fonction d’onde
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Notons v les pulsations du spectre f (v) de ce train d’ondes ; k, les vecteurs
d’onde ; r = (x, y, z), la position dans l’espace de la particule de masse m. Un train
d’ondes s’écrit sous la forme spatiotemporelle générale :
c(r, t) =
f (v) e
−i(vt−k·r) dv
(1.1.1)
c) Longueur d’onde de Louis de Broglie
Le « centre » d’un paquet d’ondes se déplace à une vitesse appelée la vitesse de
groupe, et celle-ci est donnée par :
v g = grad k v
(1.1.2)
où l’indice k indique que les composantes du gradient sont obtenues en dérivant v
par rapport aux composantes k x , k y , k z des vecteurs d’onde k. À l’approximation
classique où l’on considère l’extension du paquet d’ondes comme négligeable et
confondue à celle du corpuscule, la vitesse v g doit être identifiée à la vitesse v de la
particule. Soit p l’impulsion de la particule et E son énergie ; on a :
v =
p
m
= grad p
p
2
2m
= grad p E
(1.1.3)
La relation de Planck pour l’énergie de la particule : E = hn = v nous donne, en
posant v = v g , et compte tenu de (1.1.2) :
grad p v = grad k v
(1.1.4)
En identifiant les composantes des gradients entre elles, on obtient, par exemple :
p x = k x + cste, d’où p = k + a, où a est un vecteur constant. On choisit a égal à
zéro en imposant à la relation entre p et k d’être invariante dans une rotation d’axes,
d’où :
p = k
(1.1.5)
Notons k = k = 2p/l et p = p. La relation (1.1.5) nous donne :
l = h/p
(1.1.6)
Cette longueur d’onde, l, donnée par (1.1.6) est appelée la longueur d’onde de de
Broglie. C’est la longueur d’onde du phénomène ondulatoire associé à toute particule
matérielle.
Lorsque l’impulsion se réduit à la quantité de mouvement, on a p = mv. La relation entre la longueur d’onde l et la vitesse v des particules a été vérifiée expérimentalement. La relation (1.1.6) de de Broglie peut donc être prise comme un postulat
déduit de l’expérience.
1.1.2 Équation de Schrödinger pour une particule libre
Transformons l’expression (1.1.1) du train d’ondes c(r, t) en utilisant d’une part, la
relation de L. de Broglie p = k ; d’autre part, la relation de Planck : E = hn = v.
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Notons v les pulsations du spectre f (v) de ce train d’ondes ; k, les vecteurs
d’onde ; r = (x, y, z), la position dans l’espace de la particule de masse m. Un train
d’ondes s’écrit sous la forme spatiotemporelle générale :
c(r, t) =
f (v) e
−i(vt−k·r) dv
(1.1.1)
c) Longueur d’onde de Louis de Broglie
Le « centre » d’un paquet d’ondes se déplace à une vitesse appelée la vitesse de
groupe, et celle-ci est donnée par :
v g = grad k v
(1.1.2)
où l’indice k indique que les composantes du gradient sont obtenues en dérivant v
par rapport aux composantes k x , k y , k z des vecteurs d’onde k. À l’approximation
classique où l’on considère l’extension du paquet d’ondes comme négligeable et
confondue à celle du corpuscule, la vitesse v g doit être identifiée à la vitesse v de la
particule. Soit p l’impulsion de la particule et E son énergie ; on a :
v =
p
m
= grad p
p
2
2m
= grad p E
(1.1.3)
La relation de Planck pour l’énergie de la particule : E = hn = v nous donne, en
posant v = v g , et compte tenu de (1.1.2) :
grad p v = grad k v
(1.1.4)
En identifiant les composantes des gradients entre elles, on obtient, par exemple :
p x = k x + cste, d’où p = k + a, où a est un vecteur constant. On choisit a égal à
zéro en imposant à la relation entre p et k d’être invariante dans une rotation d’axes,
d’où :
p = k
(1.1.5)
Notons k = k = 2p/l et p = p. La relation (1.1.5) nous donne :
l = h/p
(1.1.6)
Cette longueur d’onde, l, donnée par (1.1.6) est appelée la longueur d’onde de de
Broglie. C’est la longueur d’onde du phénomène ondulatoire associé à toute particule
matérielle.
Lorsque l’impulsion se réduit à la quantité de mouvement, on a p = mv. La relation entre la longueur d’onde l et la vitesse v des particules a été vérifiée expérimentalement. La relation (1.1.6) de de Broglie peut donc être prise comme un postulat
déduit de l’expérience.
1.1.2 Équation de Schrödinger pour une particule libre
Transformons l’expression (1.1.1) du train d’ondes c(r, t) en utilisant d’une part, la
relation de L. de Broglie p = k ; d’autre part, la relation de Planck : E = hn = v.