7.3 Étude en coordonnées sphériques
173
x
y
z
+
–
Figure 7.1
leur module |Y lm | ne dépend plus que de l’angle u. On peut
donc visualiser la dépendance angulaire des fonctions d’onde
pour r fixé.
Pour cela, on porte dans une direction OM d’angle u un
rayon-vecteur de longueur proportionnelle au module |c nlm | de
la fonction d’onde au point M(r, u), c’est-à-dire, pour r fixé,
proportionnelle au module |Y lm |. Considérons, par exemple, le
module |Y
0
1 | ∼ cos u ; c’est l’équation de deux sphères centrées
sur l’axe Oz. La figure 7.1 représente ces sphères en perspective. Les signes + et − indiquent les valeurs positives et négatives de Y
0
1 . On peut considérer que la fonction d’onde est
« orientée » selon l’axe Oz.
c) Orbitales atomiques
Les fonctions d’onde des atomes sont également appelées des orbitales atomiques.
Lorsque l = m = 0, la fonction d’onde c n, 0, 0 (r, u, w) est une orbitale s. Puisque
Y
0
0 est une constante, l’orbitale s est représentée, pour r fixé, par une sphère centrée
sur l’origine et possède donc des valeurs identiques quelle que soit la direction considérée.
Lorsque l = 1, les fonctions c n, 1, 0 et c n, 1, ±1 sont des orbitales p ; pour m = ±1,
ces orbitales comportent une exponentielle imaginaire, selon (7.3.24). Afin d’obtenir
des fonctions à valeurs réelles et normées, on effectue des combinaisons linéaires
entre les orbitales c n, 1, 1 et c n, 1,−1 , soit :
1
√
2
(c n, 1, −1 − c n, 1, 1 ) =
3
4p
R n, 1 (r) sin u cos w
i
√
2
(c n, 1, 1 + c n, 1,−1 ) =
3
4p
R n,1 (r) sin u sin w
(7.3.25)
Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques sont données par :
x/r = sin u cos w, y/r = sin u sin w, z/r = cos u. Les orbitales p s’écrivent alors :
p x =
3
4p
R n,1 (r)
x
r
; p y =
3
4p
R n,1 (r)
y
r
; p z =
3
4p
R n,1 (r)
z
r
(7.3.26a)
Pour r fixé, les orbitales p sont représentées par deux sphères tangentes à l’origine
ainsi que le montre la figure 7.1. Les orbitales p x , p y , p z sont à symétrie axiale respectivement par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. Puisque ce sont essentiellement les
fonctions angulaires qui déterminent la forme des orbitales p, on appelle souvent,
par abus de langage, orbitale p la partie angulaire des fonctions d’onde.
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x
y
z
+
–
Figure 7.1
leur module |Y lm | ne dépend plus que de l’angle u. On peut
donc visualiser la dépendance angulaire des fonctions d’onde
pour r fixé.
Pour cela, on porte dans une direction OM d’angle u un
rayon-vecteur de longueur proportionnelle au module |c nlm | de
la fonction d’onde au point M(r, u), c’est-à-dire, pour r fixé,
proportionnelle au module |Y lm |. Considérons, par exemple, le
module |Y
0
1 | ∼ cos u ; c’est l’équation de deux sphères centrées
sur l’axe Oz. La figure 7.1 représente ces sphères en perspective. Les signes + et − indiquent les valeurs positives et négatives de Y
0
1 . On peut considérer que la fonction d’onde est
« orientée » selon l’axe Oz.
c) Orbitales atomiques
Les fonctions d’onde des atomes sont également appelées des orbitales atomiques.
Lorsque l = m = 0, la fonction d’onde c n, 0, 0 (r, u, w) est une orbitale s. Puisque
Y
0
0 est une constante, l’orbitale s est représentée, pour r fixé, par une sphère centrée
sur l’origine et possède donc des valeurs identiques quelle que soit la direction considérée.
Lorsque l = 1, les fonctions c n, 1, 0 et c n, 1, ±1 sont des orbitales p ; pour m = ±1,
ces orbitales comportent une exponentielle imaginaire, selon (7.3.24). Afin d’obtenir
des fonctions à valeurs réelles et normées, on effectue des combinaisons linéaires
entre les orbitales c n, 1, 1 et c n, 1,−1 , soit :
1
√
2
(c n, 1, −1 − c n, 1, 1 ) =
3
4p
R n, 1 (r) sin u cos w
i
√
2
(c n, 1, 1 + c n, 1,−1 ) =
3
4p
R n,1 (r) sin u sin w
(7.3.25)
Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques sont données par :
x/r = sin u cos w, y/r = sin u sin w, z/r = cos u. Les orbitales p s’écrivent alors :
p x =
3
4p
R n,1 (r)
x
r
; p y =
3
4p
R n,1 (r)
y
r
; p z =
3
4p
R n,1 (r)
z
r
(7.3.26a)
Pour r fixé, les orbitales p sont représentées par deux sphères tangentes à l’origine
ainsi que le montre la figure 7.1. Les orbitales p x , p y , p z sont à symétrie axiale respectivement par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. Puisque ce sont essentiellement les
fonctions angulaires qui déterminent la forme des orbitales p, on appelle souvent,
par abus de langage, orbitale p la partie angulaire des fonctions d’onde.