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7 • Atome d’hydrogène
Cette dernière est en effet due à la forme très particulière, en 1/r
2 , de la force de
Coulomb. En mécanique classique, seule une telle expression d’une force centrale
conduit à des trajectoires fermées de forme elliptique.
La dégénérescence accidentelle remarquable des niveaux d’énergie de l’atome
d’hydrogène suggère l’existence d’une constante de mouvement supplémentaire appelée vecteur de Runge-Lenz (voir exercices 7.4 et 7.5).
7.3.4 Fonctions d’onde
Les fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène sont le produit des fonctions radiales
normalisées R nl (r) par les fonctions sphériques Y lm (u, w) également normalisées,
soit :
c nlm (r, u, w) = R nl (r)Y lm (u, w)
( 7 .3.22)
a) Nombres quantiques
Les états de l’atome d’hydrogène sont donc définis par les trois entiers relatifs n, l,
m, appelés nombres quantiques :
– nombre quantique principal n, tel que : n 1 ;
– nombre quantique azimutal l, prenant des valeurs, selon (7.3.16), de 0 à n − 1 ;
– nombre quantique magnétique m, qui varie de −l à l.
b) Fonctions angulaires
Les formules générales (6.3.17) donnent les expressions des harmoniques sphériques
normalisées Y lm (u, w). Pour les premières valeurs de l, on a les expressions suivantes :
État s
: l = 0, m = 0 : Y
0
0 = (4p) −1/2
État p 0 : l = 1, m = 0 : Y
0
1 =
3/4p cos u
État p ±1 : l = 1, m = ±1 : Y
±1
1 = ∓
3/8p sin ue
±iw
État d 0 : l = 2, m = 0 : Y
0
2 =
5/16p (3 cos
2 u − 1)
État d ±1 : l = 2, m = ±1 : Y
±1
2 = ∓
15/8p sin u cos u e ±iw
États d ±2 : l = 2, m = ±2 : Y
±2
2 =
15/32p sin
2 u e ±2iw
(7.3.23)
Puisque les harmoniques sphériques sont de la forme donnée par (6.3.9) :
Y lm (u, w) = P
m
l (u) e
imw
(7.3.24)