7.3 Étude en coordonnées sphériques
171
État 2p : n = 2, l = 1 : R 2,1 (r) = (2a 0 )
−3/2 r
a 0
√
3
exp
−
r
2a 0
(7.3.18c)
L’expression générale des fonctions radiales est de la forme :
R n,l (r) = −
2a
−3/2
0
n 2
(n − l − 1)!
[(n + l)!]
3
2r
na 0
l
exp
−
r
na 0
L
2l+1
n+l
2r
na 0
(7.3.18d)
où le coefficient de normalisation, N n,l = −
2a
−3/2
0
/n
2
(n − l − 1)!/ [(n + l)!]
3 ,
dépend explicitement de n et l. Le comportement des fonctions radiales est en r
l au
voisinage de r = 0. Seuls les états de type s (l = 0) sont non nuls à l’origine. Plus l
est grand, plus est étendue la zone autour du proton où la probabilité de présence de
l’électron est négligeable.
7.3.3 Niveaux d’énergie
La définition (7.3.5) du paramètre n = b nous donne pour expression des niveaux
d’énergie de l’électron dans l’atome d’hydrogène :
E n = −
me
4
2 2
1
n 2 ; n = 1, 2, 3, ...
(7.3.19)
On obtient un spectre discret de niveaux d’énergie négative. Le plus bas niveau,
E 1 = −me
4 /2
2 , est appelé le niveau fondamental de l’atome d’hydrogène. Lorsque
n augmente indéfiniment, les intervalles entre les différents niveaux se rétrécissent et
l’énergie tend vers zéro, seuil d’ionisation de l’atome.
➤ Dégénérescence des niveaux d’énergie
Nous avons vu qu’en général l’énergie E kl , pour un potentiel central quelconque,
dépend de deux nombres quantiques k, l et que la dégénérescence de E kl est au moins
égale à (2l + 1). Cette dégénérescence est due au fait que l’hamiltonien contient
l’opérateur L
2 et non pas L z ce qui entraîne que m n’apparaît pas dans l’équation
radiale ; cette dégénérescence est appelée dégénérescence essentielle.
Dans le cas de l’hydrogène, la formule (7.3.19) montre que tous les états caractérisés par une valeur l quelconque ont une même énergie. La dégénérescence totale,
notée g n , d’un niveau E n se calcule en considérant toutes les valeurs possibles de l
pour n donné, soit :
l = 0, 1, 2, ..., n − 1
( 7 .3.20)
Faisant la somme des (2l + 1) états possibles pour chaque valeur de l, on obtient :
g n =
n−1
l=0
(2l + 1) = n
2
(7.3.21)
Le nombre n qui caractérise un niveau d’énergie donné est appelé le nombre quantique principal. La dégénérescence supplémentaire qui résulte de l’expression particulière de l’énergie potentielle U(r) est qualifiée de dégénérescence accidentelle.
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État 2p : n = 2, l = 1 : R 2,1 (r) = (2a 0 )
−3/2 r
a 0
√
3
exp
−
r
2a 0
(7.3.18c)
L’expression générale des fonctions radiales est de la forme :
R n,l (r) = −
2a
−3/2
0
n 2
(n − l − 1)!
[(n + l)!]
3
2r
na 0
l
exp
−
r
na 0
L
2l+1
n+l
2r
na 0
(7.3.18d)
où le coefficient de normalisation, N n,l = −
2a
−3/2
0
/n
2
(n − l − 1)!/ [(n + l)!]
3 ,
dépend explicitement de n et l. Le comportement des fonctions radiales est en r
l au
voisinage de r = 0. Seuls les états de type s (l = 0) sont non nuls à l’origine. Plus l
est grand, plus est étendue la zone autour du proton où la probabilité de présence de
l’électron est négligeable.
7.3.3 Niveaux d’énergie
La définition (7.3.5) du paramètre n = b nous donne pour expression des niveaux
d’énergie de l’électron dans l’atome d’hydrogène :
E n = −
me
4
2 2
1
n 2 ; n = 1, 2, 3, ...
(7.3.19)
On obtient un spectre discret de niveaux d’énergie négative. Le plus bas niveau,
E 1 = −me
4 /2
2 , est appelé le niveau fondamental de l’atome d’hydrogène. Lorsque
n augmente indéfiniment, les intervalles entre les différents niveaux se rétrécissent et
l’énergie tend vers zéro, seuil d’ionisation de l’atome.
➤ Dégénérescence des niveaux d’énergie
Nous avons vu qu’en général l’énergie E kl , pour un potentiel central quelconque,
dépend de deux nombres quantiques k, l et que la dégénérescence de E kl est au moins
égale à (2l + 1). Cette dégénérescence est due au fait que l’hamiltonien contient
l’opérateur L
2 et non pas L z ce qui entraîne que m n’apparaît pas dans l’équation
radiale ; cette dégénérescence est appelée dégénérescence essentielle.
Dans le cas de l’hydrogène, la formule (7.3.19) montre que tous les états caractérisés par une valeur l quelconque ont une même énergie. La dégénérescence totale,
notée g n , d’un niveau E n se calcule en considérant toutes les valeurs possibles de l
pour n donné, soit :
l = 0, 1, 2, ..., n − 1
( 7 .3.20)
Faisant la somme des (2l + 1) états possibles pour chaque valeur de l, on obtient :
g n =
n−1
l=0
(2l + 1) = n
2
(7.3.21)
Le nombre n qui caractérise un niveau d’énergie donné est appelé le nombre quantique principal. La dégénérescence supplémentaire qui résulte de l’expression particulière de l’énergie potentielle U(r) est qualifiée de dégénérescence accidentelle.