170
7 • Atome d’hydrogène
alors que tous les coefficients de rang plus élevé soient également nuls. La condition
pour que la série s’arrête au terme k et devienne un polynôme s’écrit :
k + l + 1 − b = 0
( 7 .3.14)
Étant un polynôme, on voit que la fonction u(x) a des variations plus modérées que
celle de la forme asymptotique, déterminée séparément.
Le paramètre b introduit par (7.3.5) doit donc prendre des valeurs entières pour
que l’équation de Schrödinger admette des solutions physiquement acceptables, soit
b = n. Les nombres k et l étant supérieurs ou au moins égaux à zéro, on doit avoir :
n = k + l + 1 1
( 7 .3.15)
Les polynômes ainsi obtenus sont appelés les polynômes de Laguerre généralisés,
notés L
2l+1
n+l (x) (voir exercice 7.2) et nous en donnons quelques exemples, pour les
premières valeurs de n et l, dans l’expression des fonctions radiales. Ces polynômes
sont de degré : k = n − l − 1 et le nombre k est le nombre quantique radial.
Pour une valeur n donnée, on doit avoir : k = n − l − 1 0, soit :
l n − 1
( 7 .3.16)
Notons qu’il existe dans la littérature diverses définitions pour les polynômes de Laguerre généralisés. Nous avons, dans cet ouvrage, adopté la définition L
c
k (x) donnée par Landau et Lifchitz
¾
, qui diffère des polynômes utilisés par Merzbacher
¿
et Arfken
, que nous notons respectivement
L
c
k (x) et L
c
k (x), par les expressions :
L
c
k+c (x) = (−1)
c
L
c
k (x) et L
c
k+c (x) = (−1)
c (k + c)!L
c
k (x).
b) Exemples de fonctions radiales
Les fonctions radiales sont données par l’expression (7.3.9) dans laquelle on remplace la fonction u(x) par L
2l+1
n+l (x) et la variable x par sa définition (7.3.5) en fonction
de la variable r. Ces fonctions, ne dépendant plus que de n et l, seront dorénavant
notées R n,l (r). Étant des fonctions à valeurs réelles, elles sont normalisées par la
condition :
∞
0
R
2
n,l r
2 dr = 1
( 7 .3.17)
Les expressions des premières fonctions radiales sont les suivantes, avec :
a 0 =
2 /me
2 (cette valeur étant peu différente de celle du rayon de Bohr
a 0 =
2 /m e e
2 , nous conservons la même notation) :
État 1s : n = 1, l = 0 : R 1,0 (r) = 2a
−3/2
0
exp
−
r
a 0
(7.3.18a)
État 2s : n = 2, l = 0 : R 2,0 (r) = 2(2a 0 )
−3/2
1 −
r
2a 0
exp
−
r
2a 0
(7.3.18b)
2. L. LANDAU et E. LIFCHITZ, Mécanique Quantique, Tome III, Editions MIR, Moscou (1966).
3. E. MERZBACHER, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).
4. G. ARFKEN, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, Orlando (1985).
7 • Atome d’hydrogène
alors que tous les coefficients de rang plus élevé soient également nuls. La condition
pour que la série s’arrête au terme k et devienne un polynôme s’écrit :
k + l + 1 − b = 0
( 7 .3.14)
Étant un polynôme, on voit que la fonction u(x) a des variations plus modérées que
celle de la forme asymptotique, déterminée séparément.
Le paramètre b introduit par (7.3.5) doit donc prendre des valeurs entières pour
que l’équation de Schrödinger admette des solutions physiquement acceptables, soit
b = n. Les nombres k et l étant supérieurs ou au moins égaux à zéro, on doit avoir :
n = k + l + 1 1
( 7 .3.15)
Les polynômes ainsi obtenus sont appelés les polynômes de Laguerre généralisés,
notés L
2l+1
n+l (x) (voir exercice 7.2) et nous en donnons quelques exemples, pour les
premières valeurs de n et l, dans l’expression des fonctions radiales. Ces polynômes
sont de degré : k = n − l − 1 et le nombre k est le nombre quantique radial.
Pour une valeur n donnée, on doit avoir : k = n − l − 1 0, soit :
l n − 1
( 7 .3.16)
Notons qu’il existe dans la littérature diverses définitions pour les polynômes de Laguerre généralisés. Nous avons, dans cet ouvrage, adopté la définition L
c
k (x) donnée par Landau et Lifchitz
¾
, qui diffère des polynômes utilisés par Merzbacher
¿
et Arfken
, que nous notons respectivement
L
c
k (x) et L
c
k (x), par les expressions :
L
c
k+c (x) = (−1)
c
L
c
k (x) et L
c
k+c (x) = (−1)
c (k + c)!L
c
k (x).
b) Exemples de fonctions radiales
Les fonctions radiales sont données par l’expression (7.3.9) dans laquelle on remplace la fonction u(x) par L
2l+1
n+l (x) et la variable x par sa définition (7.3.5) en fonction
de la variable r. Ces fonctions, ne dépendant plus que de n et l, seront dorénavant
notées R n,l (r). Étant des fonctions à valeurs réelles, elles sont normalisées par la
condition :
∞
0
R
2
n,l r
2 dr = 1
( 7 .3.17)
Les expressions des premières fonctions radiales sont les suivantes, avec :
a 0 =
2 /me
2 (cette valeur étant peu différente de celle du rayon de Bohr
a 0 =
2 /m e e
2 , nous conservons la même notation) :
État 1s : n = 1, l = 0 : R 1,0 (r) = 2a
−3/2
0
exp
−
r
a 0
(7.3.18a)
État 2s : n = 2, l = 0 : R 2,0 (r) = 2(2a 0 )
−3/2
1 −
r
2a 0
exp
−
r
2a 0
(7.3.18b)
2. L. LANDAU et E. LIFCHITZ, Mécanique Quantique, Tome III, Editions MIR, Moscou (1966).
3. E. MERZBACHER, Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).
4. G. ARFKEN, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, Orlando (1985).