7.3 Étude en coordonnées sphériques
169
Le comportement asymptotique de R(x), lorsque x devient grand, s’obtient en omettant dans l’équation (7.3.6) les termes en 1/x et 1/x
2 . Soit R ∞ (x) la solution de
l’équation approchée ainsi obtenue. On a :
d
2 R ∞ (x)
dx 2 =
R ∞ (x)
4
(7.3.8)
La solution exacte admet la forme simple : R ∞ (x) = exp(± x/2). La solution évanescente à l’infini est exp(−x/2) ; c’est la seule à retenir. En conséquence, on est
amené à chercher une solution de l’équation (7.3.6) sous la forme :
R(x) = x
l e
−x/2 u(x)
( 7 .3.9)
où u(x) est une fonction inconnue. Les variations de cette dernière doivent être relativement modérées puisque les comportements rapides aux limites, en x → 0 et
x → ∞, ont été considérés séparément.
7.3.2 Fonctions radiales
a) Polynômes de Laguerre généralisés
Substituant l’expression (7.3.9) de R(x) dans l’équation (7.3.6), on obtient :
x
d
2 u
dx 2 + (2l + 2 − x)
du
dx
+ (b − l − 1) u = 0
( 7 .3.10)
C’est une équation différentielle connue ayant pour solution la fonction hypergéométrique dégénérée. Nous l’étudierons dans le cas particulier qui nous intéresse consistant à trouver un solution finie en x = 0 et qui doit fournir une expression de R(x)
physiquement acceptable. Pour cela, cherchons des solutions sous forme d’une série
entière :
u(x) =
∞
k=0
a k x
k
(7.3.11)
Portons ce développement dans l’équation (7.3.10) et écrivons que le coefficient de
x
k est identiquement nul dans l’expression obtenue ; il vient :
(k + 1)(k + 2l + 2)a k+1 = (k + l + 1 − b)a k
(7.3.12)
La relation de récurrence ainsi obtenue permet de déduire tous les coefficients a k à
partir du premier d’entre eux a 0 . Le comportement asymptotique pour les termes de
rang élevé est donné par :
a k ∼
1
k
a k−1 soit a k ∼
cte
k!
(7.3.13)
d’où : u(x) ∼ cte e
x . L’expression (7.3.9) donne alors :
R(x) ∼ cte x
l e
−x/2 e
x = cte x
l e
x/2 .
La solution ainsi obtenue augmente indéfiniment lorsque x tend vers l’infini et ne
peut donc convenir physiquement. On n’a de solution u(x) acceptable que si l’un des
coefficients du développement (7.3.11) est nul, la relation de récurrence entraînant
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Le comportement asymptotique de R(x), lorsque x devient grand, s’obtient en omettant dans l’équation (7.3.6) les termes en 1/x et 1/x
2 . Soit R ∞ (x) la solution de
l’équation approchée ainsi obtenue. On a :
d
2 R ∞ (x)
dx 2 =
R ∞ (x)
4
(7.3.8)
La solution exacte admet la forme simple : R ∞ (x) = exp(± x/2). La solution évanescente à l’infini est exp(−x/2) ; c’est la seule à retenir. En conséquence, on est
amené à chercher une solution de l’équation (7.3.6) sous la forme :
R(x) = x
l e
−x/2 u(x)
( 7 .3.9)
où u(x) est une fonction inconnue. Les variations de cette dernière doivent être relativement modérées puisque les comportements rapides aux limites, en x → 0 et
x → ∞, ont été considérés séparément.
7.3.2 Fonctions radiales
a) Polynômes de Laguerre généralisés
Substituant l’expression (7.3.9) de R(x) dans l’équation (7.3.6), on obtient :
x
d
2 u
dx 2 + (2l + 2 − x)
du
dx
+ (b − l − 1) u = 0
( 7 .3.10)
C’est une équation différentielle connue ayant pour solution la fonction hypergéométrique dégénérée. Nous l’étudierons dans le cas particulier qui nous intéresse consistant à trouver un solution finie en x = 0 et qui doit fournir une expression de R(x)
physiquement acceptable. Pour cela, cherchons des solutions sous forme d’une série
entière :
u(x) =
∞
k=0
a k x
k
(7.3.11)
Portons ce développement dans l’équation (7.3.10) et écrivons que le coefficient de
x
k est identiquement nul dans l’expression obtenue ; il vient :
(k + 1)(k + 2l + 2)a k+1 = (k + l + 1 − b)a k
(7.3.12)
La relation de récurrence ainsi obtenue permet de déduire tous les coefficients a k à
partir du premier d’entre eux a 0 . Le comportement asymptotique pour les termes de
rang élevé est donné par :
a k ∼
1
k
a k−1 soit a k ∼
cte
k!
(7.3.13)
d’où : u(x) ∼ cte e
x . L’expression (7.3.9) donne alors :
R(x) ∼ cte x
l e
−x/2 e
x = cte x
l e
x/2 .
La solution ainsi obtenue augmente indéfiniment lorsque x tend vers l’infini et ne
peut donc convenir physiquement. On n’a de solution u(x) acceptable que si l’un des
coefficients du développement (7.3.11) est nul, la relation de récurrence entraînant