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7 • Atome d’hydrogène
Pour désigner les états correspondant à une valeur l donnée, des symboles conventionnels sont utilisés. Les états d’une particule sont notés par des lettres latines minuscules, avec la correspondance suivante :
l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
s, p, d, f , g, h, i, k, l, m, n, ...
(7.2.15)
Le nombre k, déterminé lors de la résolution de l’équation radiale, est appelé le
nombre quantique radial. La partie angulaire Y lm (u, w) de la fonction d’onde ne
dépend que de l, m et non de k ; elle sera donc la même quelle que soit l’énergie
potentielle U(r).
7.3 ÉTUDE EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES
7.3.1 Équation radiale
L’électron de l’atome d’hydrogène évolue dans un champ central symétrique. Notons
e 0 la charge du proton et posons :
e
2
0
4p´ 0
= e
2
(7.3.1)
L’énergie potentielle électrostatique entre l’électron et le proton est donnée par :
U(r) = −
e
2
0
4p´ 0
1
r
= −
e
2
r
(7.3.2)
où r est la distance entre les deux particules. L’équation de Schrödinger des états
stationnaires (7.2.2) s’écrit pour cette énergie potentielle :
−
2
2m
Dc −
e
2
r
c = Ec
(7.3.3)
Utilisons les résultats obtenus précédemment pour un champ de force centrale à symétrie sphérique. L’équation radiale (7.2.7) s’écrit :
1
r 2
d
dr
r
2 dR
dr
−
l(l + 1)
r 2 R +
2m
2
E +
e
2
r
R = 0
( 7 .3.4)
Effectuons les changements de variable et de paramètre suivants :
x =
2rme
2
b 2 ; b
2 = −
me
4
2 2 E
(7.3.5)
L’équation (7.3.4) devient alors :
d
2 R
dx 2 +
2
x
dR
dx
+
−
l(l + 1)
x 2 −
1
4
+
b
x
R = 0
( 7 .3.6)
Pour les petites valeurs de x, nous avons vu que R tend vers une solution donnée par
(7.2.13) de la forme :
R(x) ax
l
(7.3.7)