7.2 Champ central symétrique
167
➤ Allure au voisinage de l’origine
Supposons que la fonction U(r) soit telle que :
lim
r→0
r
2 U(r) = 0
( 7 .2.10)
ce qui est le cas du potentiel de Coulomb, et cherchons l’allure de la fonction radiale
R(r) au voisinage de l’origine des coordonnées. Pour cela, considérons l’équation
(7.2.7) pour r tendant vers zéro, et appelons R 0 la solution de l’équation ainsi obtenue. On a :
d
dr
r
2 dR 0
dr
− l(l + 1) R 0 = 0
( 7 .2.11)
La solution exacte de l’équation (7.2.11) admet la forme simple R 0 (r) = ar
p , où a
est une constante arbitraire et p une puissance qu’on déterminera. Reportant cette
expression dans (7.2.11), il vient :
p(p + 1) = l(l + 1)
(7.2.12)
Cette égalité est vérifiée pour p = l ou p = −(l + 1). Or la solution r
−(l+1) ne peut
convenir car elle devient infinie lorsque r = 0 puisque l 0. En conséquence, les
fonctions R 0 (r) correspondant à l donné sont de la forme :
R 0 (r) = ar
l
(7.2.13)
Or la probabilité de trouver une particule entre r et r + dr est égale à r
2
|R|
2 dr, par
suite de la forme de la partie radiale, r
2 dr, de l’élément de volume en coordonnées
sphériques. Au voisinage de l’origine, cette probabilité est donc proportionnelle à
r
2(l+1) et elle décroît d’autant plus rapidement que l a une plus grande valeur.
7.2.4 Nombres quantiques
Les fonctions radiales dépendent du paramètre l qui figure dans l’équation (7.2.7).
D’autre part, ces fonctions sont associées à une valeur propre E kl , où k est un paramètre qui peut être discret ou continu. Les fonctions radiales peuvent donc être
notées R kl (r) et les fonctions d’onde d’une particule dans un champ central sont de
la forme :
c klm (r, u, w) = R kl (r)Y lm (u, w)
( 7 .2.14)
La donnée de l’énergie E kl détermine complètement la fonction radiale R kl (r) et les
valeurs l, m caractérisent la partie angulaire Y lm (u, w). Ainsi, lors du mouvement
dans un potentiel issu d’une force centrale à symétrie sphérique, la fonction d’onde
c klm (r, u, w) est entièrement déterminée par les valeurs E kl , l et m, auxquelles correspond une seule fonction d’onde. En d’autres termes, les observables H, L
2 et L z
forment un SCOC pour un tel mouvement.
Le nombre l, pour un mouvement dans un champ de force centrale à symétrie
sphérique, porte le nom de nombre quantique azimutal et m est appelé le nombre
quantique magnétique.
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➤ Allure au voisinage de l’origine
Supposons que la fonction U(r) soit telle que :
lim
r→0
r
2 U(r) = 0
( 7 .2.10)
ce qui est le cas du potentiel de Coulomb, et cherchons l’allure de la fonction radiale
R(r) au voisinage de l’origine des coordonnées. Pour cela, considérons l’équation
(7.2.7) pour r tendant vers zéro, et appelons R 0 la solution de l’équation ainsi obtenue. On a :
d
dr
r
2 dR 0
dr
− l(l + 1) R 0 = 0
( 7 .2.11)
La solution exacte de l’équation (7.2.11) admet la forme simple R 0 (r) = ar
p , où a
est une constante arbitraire et p une puissance qu’on déterminera. Reportant cette
expression dans (7.2.11), il vient :
p(p + 1) = l(l + 1)
(7.2.12)
Cette égalité est vérifiée pour p = l ou p = −(l + 1). Or la solution r
−(l+1) ne peut
convenir car elle devient infinie lorsque r = 0 puisque l 0. En conséquence, les
fonctions R 0 (r) correspondant à l donné sont de la forme :
R 0 (r) = ar
l
(7.2.13)
Or la probabilité de trouver une particule entre r et r + dr est égale à r
2
|R|
2 dr, par
suite de la forme de la partie radiale, r
2 dr, de l’élément de volume en coordonnées
sphériques. Au voisinage de l’origine, cette probabilité est donc proportionnelle à
r
2(l+1) et elle décroît d’autant plus rapidement que l a une plus grande valeur.
7.2.4 Nombres quantiques
Les fonctions radiales dépendent du paramètre l qui figure dans l’équation (7.2.7).
D’autre part, ces fonctions sont associées à une valeur propre E kl , où k est un paramètre qui peut être discret ou continu. Les fonctions radiales peuvent donc être
notées R kl (r) et les fonctions d’onde d’une particule dans un champ central sont de
la forme :
c klm (r, u, w) = R kl (r)Y lm (u, w)
( 7 .2.14)
La donnée de l’énergie E kl détermine complètement la fonction radiale R kl (r) et les
valeurs l, m caractérisent la partie angulaire Y lm (u, w). Ainsi, lors du mouvement
dans un potentiel issu d’une force centrale à symétrie sphérique, la fonction d’onde
c klm (r, u, w) est entièrement déterminée par les valeurs E kl , l et m, auxquelles correspond une seule fonction d’onde. En d’autres termes, les observables H, L
2 et L z
forment un SCOC pour un tel mouvement.
Le nombre l, pour un mouvement dans un champ de force centrale à symétrie
sphérique, porte le nom de nombre quantique azimutal et m est appelé le nombre
quantique magnétique.