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7 • Atome d’hydrogène
Dans le champ d’une force centrale, le moment cinétique se conserve et nous allons
chercher des états stationnaires pour lesquels L
2 et L z ont des valeurs propres déterminées. Nous avons vu que l’opérateur hamiltonien H commute avec l’opérateur
de rotation et donc avec L
2 ; par suite, ces deux opérateurs possèdent des fonctions
propres communes. Puisque L
2 n’opère que sur les variables angulaires u et w, ses
fonctions propres communes avec l’opérateur H sont de la forme R(r)Y lm (u, w). Les
solutions de l’équation (7.2.4) sont alors cherchées sous la forme :
c(r, u, w) = R(r)Y lm (u, w)
( 7 .2.5)
où les fonctions Y lm (u, w) normalisées sont les harmoniques sphériques données par
(6.3.17), et qui vérifient l’équation :
L
2 Y lm (u, w) =
2 l(l + 1)Y lm (u, w)
( 7 .2.6)
Substituant (7.2.5) dans l’équation (7.2.4) et tenant compte de (7.2.6), on obtient
l’équation radiale pour la fonction R(r), soit :
1
r 2
d
dr
r
2 dR
dr
−
l(l + 1)
r 2 R +
2m
2
E − U(r)
R = 0
( 7 .2.7)
On remarque que cette dernière équation ne contient pas la valeur propre m de la
composante L z du moment cinétique. Ceci montre que, pour l donné, les niveaux
d’énergie seront au moins (2l + 1) fois dégénérés.
7.2.3 Équation radiale
Effectuons la substitution R(r) = x(r)/r dans l’équation radiale (7.2.7) ; on obtient :
−
2
2m
d
2 x
dr 2 +
U(r) +
2
2m
l(l + 1)
r 2
x = Ex
(7.2.8)
l’opérateur différentiel ayant été réduit à l’opérateur dérivée seconde, identique à
celui qui intervient dans un problème unidimensionnel à une seule variable.
Cette dernière équation représente donc formellement l’équation de Schrödinger
du mouvement à une dimension d’une particule de masse m dans un champ d’énergie
potentielle :
U l (r) = U(r) +
2
2m
l(l + 1)
r 2
(7.2.9)
Le problème d’une particule dans un champ de force centrale à symétrie sphérique
se ramène donc à l’étude d’un mouvement unidimensionnel sur une demi-droite limitée par r = 0. Or, pour une équation de Schrödinger à une dimension, tous les
niveaux énergétiques du spectre correspondant à un potentiel U l donné sont non dégénérés, ainsi que nous l’avons vu dans notre ouvrage Introduction à la mécanique
quantique cité précédemment. Pour une valeur de l fixée, chaque niveau énergétique
correspondra donc à une seule fonction radiale R(r) = x(r)/r.
7 • Atome d’hydrogène
Dans le champ d’une force centrale, le moment cinétique se conserve et nous allons
chercher des états stationnaires pour lesquels L
2 et L z ont des valeurs propres déterminées. Nous avons vu que l’opérateur hamiltonien H commute avec l’opérateur
de rotation et donc avec L
2 ; par suite, ces deux opérateurs possèdent des fonctions
propres communes. Puisque L
2 n’opère que sur les variables angulaires u et w, ses
fonctions propres communes avec l’opérateur H sont de la forme R(r)Y lm (u, w). Les
solutions de l’équation (7.2.4) sont alors cherchées sous la forme :
c(r, u, w) = R(r)Y lm (u, w)
( 7 .2.5)
où les fonctions Y lm (u, w) normalisées sont les harmoniques sphériques données par
(6.3.17), et qui vérifient l’équation :
L
2 Y lm (u, w) =
2 l(l + 1)Y lm (u, w)
( 7 .2.6)
Substituant (7.2.5) dans l’équation (7.2.4) et tenant compte de (7.2.6), on obtient
l’équation radiale pour la fonction R(r), soit :
1
r 2
d
dr
r
2 dR
dr
−
l(l + 1)
r 2 R +
2m
2
E − U(r)
R = 0
( 7 .2.7)
On remarque que cette dernière équation ne contient pas la valeur propre m de la
composante L z du moment cinétique. Ceci montre que, pour l donné, les niveaux
d’énergie seront au moins (2l + 1) fois dégénérés.
7.2.3 Équation radiale
Effectuons la substitution R(r) = x(r)/r dans l’équation radiale (7.2.7) ; on obtient :
−
2
2m
d
2 x
dr 2 +
U(r) +
2
2m
l(l + 1)
r 2
x = Ex
(7.2.8)
l’opérateur différentiel ayant été réduit à l’opérateur dérivée seconde, identique à
celui qui intervient dans un problème unidimensionnel à une seule variable.
Cette dernière équation représente donc formellement l’équation de Schrödinger
du mouvement à une dimension d’une particule de masse m dans un champ d’énergie
potentielle :
U l (r) = U(r) +
2
2m
l(l + 1)
r 2
(7.2.9)
Le problème d’une particule dans un champ de force centrale à symétrie sphérique
se ramène donc à l’étude d’un mouvement unidimensionnel sur une demi-droite limitée par r = 0. Or, pour une équation de Schrödinger à une dimension, tous les
niveaux énergétiques du spectre correspondant à un potentiel U l donné sont non dégénérés, ainsi que nous l’avons vu dans notre ouvrage Introduction à la mécanique
quantique cité précédemment. Pour une valeur de l fixée, chaque niveau énergétique
correspondra donc à une seule fonction radiale R(r) = x(r)/r.