7.2 Champ central symétrique
165
7.2 CHAMP CENTRAL SYMÉTRIQUE
7.2.1 Équation de Schrödinger
L’atome d’hydrogène est formé d’un proton portant une charge positive e 0 et d’un
électron chargé négativement, gravitant autour du noyau. Notons m p la masse du
proton et m e celle de l’électron ; on a : m p = 1836, 1527m e .
Nous avons vu, au cours du chapitre 4, que le problème du mouvement de deux
particules en interaction peut se ramener à celui d’une particule fictive autour du
centre de masse, tant en mécanique classique que quantique. Appelons m la masse
réduite du système formé par l’électron et le proton, soit :
m =
m e m p
m e + m p
(7.2.1)
La masse m p étant importante par rapport à m e , la masse réduite est peu différente de
m e et le centre de masse du système est situé à peu de distance du proton. Choisissons un référentiel Oxyz ayant pour origine le centre de masse ; notons r la distance
de l’électron au proton, distance égale par construction à celle de la particule fictive au centre de masse. Soit U(r) l’énergie potentielle électrostatique de l’électron
dans le champ du proton, ayant évidemment pour origine une force centrale à symétrie sphérique. L’équation de Schrödinger des états stationnaires de la masse réduite
s’écrit, en réalisation-r :
−
2
2m
Dc + U(r)c = Ec
(7.2.2)
où D désigne le laplacien par rapport aux coordonnées du rayon-vecteur r de la particule fictive au centre de masse.
L’équation de Schrödinger (7.2.2) ainsi écrite sans expliciter l’expression de U(r)
est, de manière générale, celle d’une particule de masse m dans un champ central
symétrique. Étudions quelques propriétés générales d’une telle équation.
7.2.2 Séparation des variables
Écrivons l’équation (7.2.2) en coordonnées sphériques r, u, w. Nous avons vu que
l’opérateur L
2 , carré du moment cinétique, a une expression donnée par (6.3.6) qui
est, à un facteur près, le terme angulaire du laplacien en coordonnées sphériques.
Compte tenu de (6.3.6), le laplacien s’écrit alors :
D =
1
r 2
∂
∂r
r
2 ∂
∂r
−
L
2
2
(7.2.3)
L’équation de Schrödinger (7.2.2) s’écrit, compte tenu de (7.2.3) :
2
2mr 2
−
∂
∂r
r
2 ∂
∂r
+
L
2
2
+ U(r)
c(r, u, w) = Ec(r, u, w)
(7.2.4)
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7.2 CHAMP CENTRAL SYMÉTRIQUE
7.2.1 Équation de Schrödinger
L’atome d’hydrogène est formé d’un proton portant une charge positive e 0 et d’un
électron chargé négativement, gravitant autour du noyau. Notons m p la masse du
proton et m e celle de l’électron ; on a : m p = 1836, 1527m e .
Nous avons vu, au cours du chapitre 4, que le problème du mouvement de deux
particules en interaction peut se ramener à celui d’une particule fictive autour du
centre de masse, tant en mécanique classique que quantique. Appelons m la masse
réduite du système formé par l’électron et le proton, soit :
m =
m e m p
m e + m p
(7.2.1)
La masse m p étant importante par rapport à m e , la masse réduite est peu différente de
m e et le centre de masse du système est situé à peu de distance du proton. Choisissons un référentiel Oxyz ayant pour origine le centre de masse ; notons r la distance
de l’électron au proton, distance égale par construction à celle de la particule fictive au centre de masse. Soit U(r) l’énergie potentielle électrostatique de l’électron
dans le champ du proton, ayant évidemment pour origine une force centrale à symétrie sphérique. L’équation de Schrödinger des états stationnaires de la masse réduite
s’écrit, en réalisation-r :
−
2
2m
Dc + U(r)c = Ec
(7.2.2)
où D désigne le laplacien par rapport aux coordonnées du rayon-vecteur r de la particule fictive au centre de masse.
L’équation de Schrödinger (7.2.2) ainsi écrite sans expliciter l’expression de U(r)
est, de manière générale, celle d’une particule de masse m dans un champ central
symétrique. Étudions quelques propriétés générales d’une telle équation.
7.2.2 Séparation des variables
Écrivons l’équation (7.2.2) en coordonnées sphériques r, u, w. Nous avons vu que
l’opérateur L
2 , carré du moment cinétique, a une expression donnée par (6.3.6) qui
est, à un facteur près, le terme angulaire du laplacien en coordonnées sphériques.
Compte tenu de (6.3.6), le laplacien s’écrit alors :
D =
1
r 2
∂
∂r
r
2 ∂
∂r
−
L
2
2
(7.2.3)
L’équation de Schrödinger (7.2.2) s’écrit, compte tenu de (7.2.3) :
2
2mr 2
−
∂
∂r
r
2 ∂
∂r
+
L
2
2
+ U(r)
c(r, u, w) = Ec(r, u, w)
(7.2.4)