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6 • Moment cinétique
Appliquée à la grandeur l
2
z , la relation (6) devient, compte tenu de la formule (2) :
l
2
z =
1
2l + 1
l
m=−l
m
2 =
2
2l + 1
l
m=1
m
2 =
1
3
l(l + 1)
(7)
3. Utilisons l’analogie entre l’opérateur L
2 et le carré l
2 du vecteur classique l. On a :
L
2
= l
2
. Alors, compte tenu de (4) et (5), l’expression (7) nous donne :
L
2
= l(l + 1)
(8)
On retrouve ainsi les valeurs propres (en unités ) de l’opérateur L
2 obtenues en mécanique
quantique.
Notons que le rapprochement entre des grandeurs classique et quantique peut se faire souvent grâce à l’utilisation des valeurs moyennes de ces grandeurs. C’est le cas, par exemple,
ainsi que nous l’avons vu au cours du chapitre 3, du passage de la mécanique quantique à la
mécanique classique à l’aide du théorème d’Ehrenfest, et qui s’effectue en écrivant la valeur
moyenne des grandeurs qui figurent dans l’équation de la dynamique de Newton.
6 • Moment cinétique
Appliquée à la grandeur l
2
z , la relation (6) devient, compte tenu de la formule (2) :
l
2
z =
1
2l + 1
l
m=−l
m
2 =
2
2l + 1
l
m=1
m
2 =
1
3
l(l + 1)
(7)
3. Utilisons l’analogie entre l’opérateur L
2 et le carré l
2 du vecteur classique l. On a :
L
2
= l
2
. Alors, compte tenu de (4) et (5), l’expression (7) nous donne :
L
2
= l(l + 1)
(8)
On retrouve ainsi les valeurs propres (en unités ) de l’opérateur L
2 obtenues en mécanique
quantique.
Notons que le rapprochement entre des grandeurs classique et quantique peut se faire souvent grâce à l’utilisation des valeurs moyennes de ces grandeurs. C’est le cas, par exemple,
ainsi que nous l’avons vu au cours du chapitre 3, du passage de la mécanique quantique à la
mécanique classique à l’aide du théorème d’Ehrenfest, et qui s’effectue en écrivant la valeur
moyenne des grandeurs qui figurent dans l’équation de la dynamique de Newton.