Exercices
161
Si l’on représente l’opérateur vectoriel moment cinétique L par un vecteur
ordinaire l, on peut, par analogie, associer L z à la composante l z du vecteur l. En conséquence, la valeur maximale l de L z peut être considérée
comme étant égale à la longueur du vecteur l.
Alors que l’opérateur L z a pour valeurs propres les valeurs prises par le
nombre quantique m (en unités ), celles de l’opérateur L
2 ne sont pas
données par l
2 mais par le produit l(l + 1). Ceci met bien en évidence le fait
que l’attribution d’une longueur l au vecteur représentant l’opérateur L est
une analogie qu’il faut seulement prendre pour ce qu’elle est.
1. Afin de faire le rapprochement avec une représentation vectorielle classique, on va calculer les valeurs moyennes quantiques L
2
et L
2
z , pour
un système supposé dans un état propre |l, m, en utilisant les valeurs
moyennes statistiques des grandeurs vectorielles classiques.
Déterminer L
2
en fonction de L
2
z en utilisant la propriété d’isotropie de
l’espace. Faire de même pour un vecteur moment cinétique classique l
2 en
fonction de l
2
z .
2. Calculer l
2
z en considérant l z comme la composante de vecteurs dont
les longueurs sont les nombres quantiques m qui varient dans les limites
données par (1), et par pas d’une unité.
On utilisera la formule :
n
k=1
k
2 =
1
6
n(n + 1)(2n + 1)
(2)
3. En déduire L
2
. Qu’y a-t-il de remarquable ?
Solution.
1. L’espace étant isotrope, les degrés de liberté en x, y et z ont des probabilités égales. On
peut donc écrire :
L
2
z =
1
3
L
2
x + L
2
y + L
2
z
(3)
On en déduit :
L
2
z =
1
3
L
2
x + L
2
y + L
2
z
=
1
3
L
2
(4)
On a de même :
l
2
z =
1
3
l
2
x + l
2
y + l
2
z
=
1
3
l
2
(5)
2. Puisque m varie de manière discontinue par pas d’une unité, le nombre de valeurs possibles
qu’il peut prendre dans son domaine de définition [−l, l] est égal à 2l + 1.
La définition de la valeur moyenne d’une grandeur classique A pouvant prendre un ensemble
de valeurs a i , i = 1, 2, ..., n est :
A =
1
n
n
i=1
a i
(6)
161
Si l’on représente l’opérateur vectoriel moment cinétique L par un vecteur
ordinaire l, on peut, par analogie, associer L z à la composante l z du vecteur l. En conséquence, la valeur maximale l de L z peut être considérée
comme étant égale à la longueur du vecteur l.
Alors que l’opérateur L z a pour valeurs propres les valeurs prises par le
nombre quantique m (en unités ), celles de l’opérateur L
2 ne sont pas
données par l
2 mais par le produit l(l + 1). Ceci met bien en évidence le fait
que l’attribution d’une longueur l au vecteur représentant l’opérateur L est
une analogie qu’il faut seulement prendre pour ce qu’elle est.
1. Afin de faire le rapprochement avec une représentation vectorielle classique, on va calculer les valeurs moyennes quantiques L
2
et L
2
z , pour
un système supposé dans un état propre |l, m, en utilisant les valeurs
moyennes statistiques des grandeurs vectorielles classiques.
Déterminer L
2
en fonction de L
2
z en utilisant la propriété d’isotropie de
l’espace. Faire de même pour un vecteur moment cinétique classique l
2 en
fonction de l
2
z .
2. Calculer l
2
z en considérant l z comme la composante de vecteurs dont
les longueurs sont les nombres quantiques m qui varient dans les limites
données par (1), et par pas d’une unité.
On utilisera la formule :
n
k=1
k
2 =
1
6
n(n + 1)(2n + 1)
(2)
3. En déduire L
2
. Qu’y a-t-il de remarquable ?
Solution.
1. L’espace étant isotrope, les degrés de liberté en x, y et z ont des probabilités égales. On
peut donc écrire :
L
2
z =
1
3
L
2
x + L
2
y + L
2
z
(3)
On en déduit :
L
2
z =
1
3
L
2
x + L
2
y + L
2
z
=
1
3
L
2
(4)
On a de même :
l
2
z =
1
3
l
2
x + l
2
y + l
2
z
=
1
3
l
2
(5)
2. Puisque m varie de manière discontinue par pas d’une unité, le nombre de valeurs possibles
qu’il peut prendre dans son domaine de définition [−l, l] est égal à 2l + 1.
La définition de la valeur moyenne d’une grandeur classique A pouvant prendre un ensemble
de valeurs a i , i = 1, 2, ..., n est :
A =
1
n
n
i=1
a i
(6)