160
6 • Moment cinétique
Le développement St
n u
m P n (x)P m (x) ne comporte que des termes de la forme (ut)
n P n (x). Le
développement (12) montre donc qu’on a :
1
−1
[P n (x)]
2 dx =
2
2n + 1
(13)
Les polynômes P n (x) formant une suite orthogonale, la suite des polynômes :
1
√
2
;
3
2
x ; ... ;
2n + 1
2
P n (x) ; ...
(14)
forme une suite orthonormée.
4. La dérivation par rapport à t du développement F(x, t) = SP n (x)t
n donne :
(x − t)
P n (x)t
n = (1 − 2tx + t
2 )
nP n (x)t
n−1
(15)
En identifiant par rapport à t, on obtient la relation de récurrence :
(n + 1)P n+1 − (2n + 1)xP n + nP n−1 = 0
(16)
Partant de P 0 (x) et P 1 (x), la relation de récurrence permet de déterminer de proche en proche
tous les P n (x). On vérifie que :
2P 2 (x) − 3xP 1 (x) + P 0 (x) = 0
(17)
5. En utilisant l’expression (3) des polynômes de Legendre, on obtient :
(n + 1)P n+1 =
n + 1
2 n+1 (n + 1)!
d
n+1
dx n+1 (x
2
− 1)
n+1 = (2n + 1)xP n − nP n−1
(18)
Pour mettre en évidence P n et P n−1 , on utilise la formule classique de Leibniz :
d
n
dx n (u(x)v(x)) =
n
k=0
n!
k!(n − k)!
d
k u(x)
dx k
d
n−k v(x)
dx n−k
(19)
L’égalité (18) est la relation de récurrence (16) qui permet d’obtenir les polynômes de Legendre. L’expression générale est ainsi vérifiée.
Exercice 6.9. Valeurs propres de l’opérateur L L L
2
Lorsqu’une grandeur physique peut être représentée par un vecteur
− →
A de
composantes A x , A y , A z , on fait correspondre respectivement à chaque
composante, en mécanique quantique, une observable A x , A y , A z . Par analogie avec la représentation vectorielle classique, on crée une entité mathématique, qu’on appelle opérateur vectoriel A, qui a pour composantes les
opérateurs A x , A y , A z .
En mécanique quantique, on démontre que l’opérateur L z a pour valeurs
propres m (mesurées en unités ) vérifiant :
−l m l
(1)
où l est un entier, et m varie par pas d’une unité.
6 • Moment cinétique
Le développement St
n u
m P n (x)P m (x) ne comporte que des termes de la forme (ut)
n P n (x). Le
développement (12) montre donc qu’on a :
1
−1
[P n (x)]
2 dx =
2
2n + 1
(13)
Les polynômes P n (x) formant une suite orthogonale, la suite des polynômes :
1
√
2
;
3
2
x ; ... ;
2n + 1
2
P n (x) ; ...
(14)
forme une suite orthonormée.
4. La dérivation par rapport à t du développement F(x, t) = SP n (x)t
n donne :
(x − t)
P n (x)t
n = (1 − 2tx + t
2 )
nP n (x)t
n−1
(15)
En identifiant par rapport à t, on obtient la relation de récurrence :
(n + 1)P n+1 − (2n + 1)xP n + nP n−1 = 0
(16)
Partant de P 0 (x) et P 1 (x), la relation de récurrence permet de déterminer de proche en proche
tous les P n (x). On vérifie que :
2P 2 (x) − 3xP 1 (x) + P 0 (x) = 0
(17)
5. En utilisant l’expression (3) des polynômes de Legendre, on obtient :
(n + 1)P n+1 =
n + 1
2 n+1 (n + 1)!
d
n+1
dx n+1 (x
2
− 1)
n+1 = (2n + 1)xP n − nP n−1
(18)
Pour mettre en évidence P n et P n−1 , on utilise la formule classique de Leibniz :
d
n
dx n (u(x)v(x)) =
n
k=0
n!
k!(n − k)!
d
k u(x)
dx k
d
n−k v(x)
dx n−k
(19)
L’égalité (18) est la relation de récurrence (16) qui permet d’obtenir les polynômes de Legendre. L’expression générale est ainsi vérifiée.
Exercice 6.9. Valeurs propres de l’opérateur L L L
2
Lorsqu’une grandeur physique peut être représentée par un vecteur
− →
A de
composantes A x , A y , A z , on fait correspondre respectivement à chaque
composante, en mécanique quantique, une observable A x , A y , A z . Par analogie avec la représentation vectorielle classique, on crée une entité mathématique, qu’on appelle opérateur vectoriel A, qui a pour composantes les
opérateurs A x , A y , A z .
En mécanique quantique, on démontre que l’opérateur L z a pour valeurs
propres m (mesurées en unités ) vérifiant :
−l m l
(1)
où l est un entier, et m varie par pas d’une unité.