Exercices
159
Solution.
1. Selon les propriétés de définition, on a : P 0 (x) = 1. Cherchons P 1 (x) sous la forme :
P 1 (x) = A + Bx. On a : A + B = 1 et :
1
−1
P 0 (x) P 1 (x) dx =
1
−1
(A + Bx) dx = 0
( 4 )
d’où : A = 0, B = 1 et P 1 (x) = x. On obtient de même :
P 2 (x) =
1
2
(3x
2
− 1) ; P 3 (x) =
1
2
(5x
3
− 3x)
( 5 )
2. Le développement de F(x, t) suivant les puissances de (2tx − t
2 ) est :
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 = 1 +
1
2
(2tx − t
2 ) −
3
8
(2tx − t
2 )
2 + · · ·
(6)
Ordonnant le développement (6) par rapport aux puissances successives de t, il faut montrer
qu’on a : F(x, t) = SP n (x)t
n . Pour cela, vérifions les propriétés de définition des polynômes
de Legendre.
a) Vérifions la première propriété des polynômes de Legendre. Le développement (6) montre
que le terme en t est égal à x ; le terme en t
2 ne peut provenir que du second et troisième
terme de (6) et par suite le coefficient de t
2 est un polynôme en x
2 ; etc. Le coefficient de
t
n est donc un polynôme de degré n en x.
b) Pour x = 1 et si l’on suppose que |t| < 1, on a :
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 = 1/(1 − t) = 1 + t + t
2 + · · ·
(7)
Le coefficient de t
n est égal à 1 lorsque x = 1 ; on a donc : P n (1) = 1.
c) Intégrons les deux membres de l’égalité (1) par rapport à x ; on a :
I =
1
−1
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 (1 − 2ux + u
2 )
−1/2 dx
(8)
Le calcul de cette intégrale s’effectue en introduisant les paramètres a et b suivants et en
effectuant les changements de variables successifs :
a =
1 + t
2
2t
; b =
1 + u
2
2u
; x = a − (a − b)y ; y =
1
1 − z 2
(9)
d’où :
I =
1
√
tu
ln
1 +
√
tu
1 −
√
tu
(10)
Puisque I n’est fonction que du produit tu, les termes du développement de I suivant les
puissances de u et t sont nuls, sauf si m = n. En conséquence :
1
−1
P n (x) P m (x) dx = 0 si n = m
(11)
Les fonctions P n (x) sont orthogonales entre elles et vérifient toutes les propriétés de définition des polynômes de Legendre ; elles sont donc identiques à ces derniers.
3. Développons l’expression (10) de l’intégrale I suivant les puissances de
√
tu. Il vient :
I = 2 +
2
3
tu + ... +
2
2n + 1
(tu)
n + · · ·
(12)
159
Solution.
1. Selon les propriétés de définition, on a : P 0 (x) = 1. Cherchons P 1 (x) sous la forme :
P 1 (x) = A + Bx. On a : A + B = 1 et :
1
−1
P 0 (x) P 1 (x) dx =
1
−1
(A + Bx) dx = 0
( 4 )
d’où : A = 0, B = 1 et P 1 (x) = x. On obtient de même :
P 2 (x) =
1
2
(3x
2
− 1) ; P 3 (x) =
1
2
(5x
3
− 3x)
( 5 )
2. Le développement de F(x, t) suivant les puissances de (2tx − t
2 ) est :
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 = 1 +
1
2
(2tx − t
2 ) −
3
8
(2tx − t
2 )
2 + · · ·
(6)
Ordonnant le développement (6) par rapport aux puissances successives de t, il faut montrer
qu’on a : F(x, t) = SP n (x)t
n . Pour cela, vérifions les propriétés de définition des polynômes
de Legendre.
a) Vérifions la première propriété des polynômes de Legendre. Le développement (6) montre
que le terme en t est égal à x ; le terme en t
2 ne peut provenir que du second et troisième
terme de (6) et par suite le coefficient de t
2 est un polynôme en x
2 ; etc. Le coefficient de
t
n est donc un polynôme de degré n en x.
b) Pour x = 1 et si l’on suppose que |t| < 1, on a :
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 = 1/(1 − t) = 1 + t + t
2 + · · ·
(7)
Le coefficient de t
n est égal à 1 lorsque x = 1 ; on a donc : P n (1) = 1.
c) Intégrons les deux membres de l’égalité (1) par rapport à x ; on a :
I =
1
−1
(1 − 2tx + t
2 )
−1/2 (1 − 2ux + u
2 )
−1/2 dx
(8)
Le calcul de cette intégrale s’effectue en introduisant les paramètres a et b suivants et en
effectuant les changements de variables successifs :
a =
1 + t
2
2t
; b =
1 + u
2
2u
; x = a − (a − b)y ; y =
1
1 − z 2
(9)
d’où :
I =
1
√
tu
ln
1 +
√
tu
1 −
√
tu
(10)
Puisque I n’est fonction que du produit tu, les termes du développement de I suivant les
puissances de u et t sont nuls, sauf si m = n. En conséquence :
1
−1
P n (x) P m (x) dx = 0 si n = m
(11)
Les fonctions P n (x) sont orthogonales entre elles et vérifient toutes les propriétés de définition des polynômes de Legendre ; elles sont donc identiques à ces derniers.
3. Développons l’expression (10) de l’intégrale I suivant les puissances de
√
tu. Il vient :
I = 2 +
2
3
tu + ... +
2
2n + 1
(tu)
n + · · ·
(12)