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6 • Moment cinétique
également par récurrence :
| j 1 −
1
2
, m =
1
√
2j 1 + 1
j 1 + m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m +
1
2
, −
1
2
−
j 1 − m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m −
1
2
, +
1
2
(8)
Les valeurs de m varient de j 1 −
1
2
à −( j 1 −
1
2
). Les formules (6) et (8) donnent les coefficients
de Clebsch-Gordan pour la décomposition de la représentation D
( j1)
⊗D
(1/2) du groupe SO(3).
Exercice 6.8. Polynômes de Legendre
Les polynômes de Legendre P n (x) sont définis par les propriétés suivantes :
a) P n (x) est un polynôme de degré n ;
b) P n (1) = 1 ;
c) P n (x) et P m (x), pour n = m, sont orthogonaux entre eux sur l’intervalle
] − 1, 1[.
1. Calculer les polynômes de Legendre pour n = 0, 1, 2, 3.
2. Montrer que le développement de la fonction F(x, t) = (1 − 2tx + t
2 )
−1/2
suivant les puissances de t admet pour coefficients les polynômes P n (x).
Pour démontrer que les polynômes sont orthogonaux entre eux, faire le
produit :
G(x, t, u) = (1 − 2tx + t
2 )
−1/2 (1 − 2ux + u
2 )
−1/2 =
t
n u
m P n (x)P m (x) (1)
et intégrer les deux membres de cette égalité par rapport à x entre −1 et 1.
3. Développer l’expression de l’intégrale de G(x, t, u) en série de puissances de tu et en déduire que la suite des polynômes :
2n + 1
2
P n (x)
(2)
est une suite orthonormée.
4. Dérivant par rapport à t le développement de F(x, t), déterminer la relation de récurrence entre les polynômes de Legendre. Vérifier cette relation
pour P 2 (x).
5. L’expression générale des polynômes de Legendre est :
P n (x) =
1
2 n n!
d
n
dx n (x
2
− 1)
n
(3)
Démontrer par récurrence la validité de cette expression.