Exercices
157
et correspond à la plus grande valeur de j, d’où le vecteur, qu’on peut écrire :
| j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
= | j 1 ,
1
2
; m 1 ,
1
2
= | j 1 ,
1
2
; j 1 ,
1
2
(4)
En appliquant J − = (J 1− + J 2− ) au vecteur | j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
, on obtient, par un calcul analogue
à celui de l’exercice 6.6 :
| j 1 +
1
2
, j 1 −
1
2
=
1
√
2j 1 + 1
(J 1− + J 2− ) | j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
=
2j 1
2j 1 + 1
| j 1 ,
1
2
; j 1 − 1,
1
2
+
1
√
2j 1 + 1
| j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
(5)
Le vecteur | j 1 +
1
2
, m sera, de manière générale, une combinaison des deux seuls vecteurs
de base associés à m, à savoir : | j 1 ,
1
2
; m −
1
2
,
1
2
et | j 1 ,
1
2
; m +
1
2
, −
1
2
. Continuant
l’application de l’opérateur J − , on obtient la suite des vecteurs | j 1 +
1
2
, m, ce qui permet de
voir apparaître la forme générale suivante, qu’on peut vérifier par récurrence :
| j 1 +
1
2
, m =
1
√
2j 1 + 1
j 1 + m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m −
1
2
,
1
2
+
j 1 − m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m +
1
2
, −
1
2
(6)
La récurrence se vérifie par application de J − aux deux membres de (6). Les valeurs de m
varient de j 1 +
1
2
à −( j 1 +
1
2
). Les coefficients de Clebsch-Gordan sont ceux donnés par la
formule (6.5.18) et le tableau 6.1.
Sous-espace E
( j1−1/2) . La valeur maximale de m est égale à j 1 −
1
2
et correspond aux vecteurs
| j 1 ,
1
2
; j 1 − 1, +
1
2
et | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
. Le vecteur | j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
est une combinaison linéaire de ces deux derniers vecteurs et il doit être orthogonal au vecteur | j 1 +
1
2
, j 1 −
1
2
. Choisissant les coefficients de cette combinaison linéaire réels et prenant celui de | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
positif, on obtient :
| j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
=
1
√
2j 1 + 1
[
2j 1 | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
− | j 1 ,
1
2
; j 1 − 1, +
1
2
]
(7)
Par action de J − sur le vecteur | j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
on obtient les vecteurs suivants, pour les
valeurs m = j 1 −
3
2
, j 1 −
5
2
, etc. On obtient la formule générale qu’on peut démontrer
157
et correspond à la plus grande valeur de j, d’où le vecteur, qu’on peut écrire :
| j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
= | j 1 ,
1
2
; m 1 ,
1
2
= | j 1 ,
1
2
; j 1 ,
1
2
(4)
En appliquant J − = (J 1− + J 2− ) au vecteur | j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
, on obtient, par un calcul analogue
à celui de l’exercice 6.6 :
| j 1 +
1
2
, j 1 −
1
2
=
1
√
2j 1 + 1
(J 1− + J 2− ) | j 1 +
1
2
, j 1 +
1
2
=
2j 1
2j 1 + 1
| j 1 ,
1
2
; j 1 − 1,
1
2
+
1
√
2j 1 + 1
| j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
(5)
Le vecteur | j 1 +
1
2
, m sera, de manière générale, une combinaison des deux seuls vecteurs
de base associés à m, à savoir : | j 1 ,
1
2
; m −
1
2
,
1
2
et | j 1 ,
1
2
; m +
1
2
, −
1
2
. Continuant
l’application de l’opérateur J − , on obtient la suite des vecteurs | j 1 +
1
2
, m, ce qui permet de
voir apparaître la forme générale suivante, qu’on peut vérifier par récurrence :
| j 1 +
1
2
, m =
1
√
2j 1 + 1
j 1 + m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m −
1
2
,
1
2
+
j 1 − m +
1
2
| j 1 ,
1
2
; m +
1
2
, −
1
2
(6)
La récurrence se vérifie par application de J − aux deux membres de (6). Les valeurs de m
varient de j 1 +
1
2
à −( j 1 +
1
2
). Les coefficients de Clebsch-Gordan sont ceux donnés par la
formule (6.5.18) et le tableau 6.1.
Sous-espace E
( j1−1/2) . La valeur maximale de m est égale à j 1 −
1
2
et correspond aux vecteurs
| j 1 ,
1
2
; j 1 − 1, +
1
2
et | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
. Le vecteur | j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
est une combinaison linéaire de ces deux derniers vecteurs et il doit être orthogonal au vecteur | j 1 +
1
2
, j 1 −
1
2
. Choisissant les coefficients de cette combinaison linéaire réels et prenant celui de | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
positif, on obtient :
| j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
=
1
√
2j 1 + 1
[
2j 1 | j 1 ,
1
2
; j 1 , −
1
2
− | j 1 ,
1
2
; j 1 − 1, +
1
2
]
(7)
Par action de J − sur le vecteur | j 1 −
1
2
, j 1 −
1
2
on obtient les vecteurs suivants, pour les
valeurs m = j 1 −
3
2
, j 1 −
5
2
, etc. On obtient la formule générale qu’on peut démontrer