156
6 • Moment cinétique
L’application de J − au vecteur |1, 1 permet d’obtenir le vecteur |1, 0, puis le vecteur |1, −1,
d’où :
|1, 0 = (1/
√
2)[|1, 1 ; 1, −1 − |1, 1 ; −1, 1]
(13)
|1, −1 = (1/
√
2)[|1, 1 ; 0, −1 − |1, 1 ; −1, 0]
(14)
Sous-espace E
(0) . Le vecteur | j = 0, m est unique et la valeur m = 0 est obtenue pour les
trois vecteurs |1, 1 ; m 1 , m 2 donnant m = 0. Le vecteur |0, 0 peut donc être une combinaison linéaire de ces trois vecteurs :
|0, 0 = a|1, 1 ; 1, −1 + b|1, 1 ; −1, 1 + g|1, 1 ; 0, 0
(15)
avec |a|
2 + |b|
2 + |g|
2 = 1. Le vecteur |0, 0 doit être orthogonal aux vecteurs |2, 0 et |1, 0,
d’où : a + b + 2g = 0 et a − b = 0, soit : a = b = −g. On choisit également a, b, g, réels
et a positif, d’où :
|0, 0 = (1/
√
3)[|1, 1 ; 1, −1 + |1, 1 ; −1, 1 − |1, 1 ; 0, 0]
(16)
Les coefficients des vecteurs de base des sous-espaces E
(k) nous donnent les valeurs des
coefficients de Clebsch-Gordan pour j 1 = j 2 = 1.
Remarque : De manière générale, pour fixer la phase du ket | j, j, on impose
la condition que le coefficient j 1 , j 2 ; m 1 = j 1 , m 2 = j − j 1 | j, j soit réel et
positif.
Exercice 6.7. Décomposition de Clebsch-Gordan d’un espace
de représentation du groupe SO(3)
On étudie la composition des moments cinétiques de deux particules pour
j 1 quelconque et j 2 = 1/2. On suppose connus les vecteurs de base de
l’espace E
( j1)
⊗ E
(1/2) qu’on note :
| j 1 m 1 ⊗ |
1
2
, ±
1
2
= | j 1 ,
1
2
; m 1 , ±
1
2
(1)
1. Écrire la décomposition de Clebsch-Gordan de l’espace de représentation E
( j1)
⊗ E
(1/2) de SO(3).
2. Déterminer les vecteurs de base des espaces E
(k) figurant dans cette
décomposition.
Solution.
1. La décomposition de Clebsch-Gordan est donnée par :
E
( j1)
⊗ E
(1/2) = E
( j1+1/2)
⊕ E
( j1−1/2)
(2)
2. Les vecteurs de base à déterminer sont notés | j 1 j 2 ; jm. Puisque j 1 et j 2 sont fixés, on
notera simplement ces vecteurs | jm.
Sous-espace E
( j1+1/2) . La plus grande valeur de m est égale à :
m = m 1 + m 2 = j 1 +
1
2
(3)
6 • Moment cinétique
L’application de J − au vecteur |1, 1 permet d’obtenir le vecteur |1, 0, puis le vecteur |1, −1,
d’où :
|1, 0 = (1/
√
2)[|1, 1 ; 1, −1 − |1, 1 ; −1, 1]
(13)
|1, −1 = (1/
√
2)[|1, 1 ; 0, −1 − |1, 1 ; −1, 0]
(14)
Sous-espace E
(0) . Le vecteur | j = 0, m est unique et la valeur m = 0 est obtenue pour les
trois vecteurs |1, 1 ; m 1 , m 2 donnant m = 0. Le vecteur |0, 0 peut donc être une combinaison linéaire de ces trois vecteurs :
|0, 0 = a|1, 1 ; 1, −1 + b|1, 1 ; −1, 1 + g|1, 1 ; 0, 0
(15)
avec |a|
2 + |b|
2 + |g|
2 = 1. Le vecteur |0, 0 doit être orthogonal aux vecteurs |2, 0 et |1, 0,
d’où : a + b + 2g = 0 et a − b = 0, soit : a = b = −g. On choisit également a, b, g, réels
et a positif, d’où :
|0, 0 = (1/
√
3)[|1, 1 ; 1, −1 + |1, 1 ; −1, 1 − |1, 1 ; 0, 0]
(16)
Les coefficients des vecteurs de base des sous-espaces E
(k) nous donnent les valeurs des
coefficients de Clebsch-Gordan pour j 1 = j 2 = 1.
Remarque : De manière générale, pour fixer la phase du ket | j, j, on impose
la condition que le coefficient j 1 , j 2 ; m 1 = j 1 , m 2 = j − j 1 | j, j soit réel et
positif.
Exercice 6.7. Décomposition de Clebsch-Gordan d’un espace
de représentation du groupe SO(3)
On étudie la composition des moments cinétiques de deux particules pour
j 1 quelconque et j 2 = 1/2. On suppose connus les vecteurs de base de
l’espace E
( j1)
⊗ E
(1/2) qu’on note :
| j 1 m 1 ⊗ |
1
2
, ±
1
2
= | j 1 ,
1
2
; m 1 , ±
1
2
(1)
1. Écrire la décomposition de Clebsch-Gordan de l’espace de représentation E
( j1)
⊗ E
(1/2) de SO(3).
2. Déterminer les vecteurs de base des espaces E
(k) figurant dans cette
décomposition.
Solution.
1. La décomposition de Clebsch-Gordan est donnée par :
E
( j1)
⊗ E
(1/2) = E
( j1+1/2)
⊕ E
( j1−1/2)
(2)
2. Les vecteurs de base à déterminer sont notés | j 1 j 2 ; jm. Puisque j 1 et j 2 sont fixés, on
notera simplement ces vecteurs | jm.
Sous-espace E
( j1+1/2) . La plus grande valeur de m est égale à :
m = m 1 + m 2 = j 1 +
1
2
(3)