Exercices
155
Solution.
1. Selon la formule (6.5.14), la décomposition de la représentation est :
D
(1)
⊗ D
(1) = D
(2)
⊕ D
(1)
⊕ D
(0)
(1)
et pour l’espace de représentation :
E
(1)
⊗ E
(1) = E
(2)
⊕ E
(1)
⊕ E
(0)
(2)
2. Les vecteurs de base de l’espace E
( j) sont de la forme :
| j 1 = 1, j 2 = 1 ; j, m
(3)
On peut omettre les notations j 1 et j 2 qui sont identiques pour tous les vecteurs et écrire les
vecteurs (3) sous la forme | jm. Les vecteurs | jm sont les vecteurs de base des espaces E
(2) ,
E
(1) , E
(0) formant la décomposition (2), d’où :
Sous-espace E
(2) ; j = 2 : |2, −2, |2, −1, |2, 0, |2, 1, |2, 2
(4)
Sous-espace E
(1) ; j = 1 : |1, −1, |1, 0, |1, 1
(5)
Sous-espace E
(0) ; j = 0 : |0, 0
(6)
3. Sous-espace E
(2) : La plus grande valeur de m est égale à 2 et elle est obtenue pour
m 1 = m 2 = 1, ce qui correspond au vecteur |1, 1; 1, 1. À cette valeur m = 2 correspond
la plus grande valeur de j, soit j = 2, d’où le vecteur |1, 1; 2, 2. Il n’y a qu’un seul vecteur
correspondant à m = 2, d’où :
|2, 2 = |1, 1; 1, 1
(7)
Selon (6.2.23), l’application de J − à un vecteur | jm donne :
J − | jm =
j( j + 1) − m(m − 1)| j, m − 1
(8)
Appliqué au vecteur |2, 2, il vient : J − |2, 2 = 2 |2, 1, d’où :
|2, 1 = (1/2 )(J 1− + J 2− )|1, 1 ; 1, 1
= (1/2 )
√
2|1, 1 ; 0, 1 +
√
2 |1, 1 ; 1, 0
= (1/
√
2)[|1, 1 ; 0, 1 + |1, 1 ; 1, 0]
(9)
En appliquant J − au vecteur |2, 1, on obtient le vecteur | j = 2, m = 0 par un calcul
analogue au précédent et ainsi de suite. On obtient :
|2, 0 = (1/
√
6)[|1, 1; 1, −1 + 2|1, 1; 0, 0 + |1, 1; −1, 1]
|2, −1 = (1/
√
2)[|1, 1; 0, −1 + |1, 1; −1, 0]
|2, −2 = |1, 1; −1, −1
(10)
Sous-espace E
(1) . Les vecteurs |1, 1; 1, 0 et |1, 1; 0, 1 sont les seuls qui donnent m = 1. Le
vecteur | j = 1, m = 1 peut donc être une combinaison linéaire de ces deux vecteurs :
|1, 1 = a|1, 1; 1, 0 + b|1, 1; 0, 1
(11)
Pour que |1, 1 soit de norme unité, il faut que : |a|
2 + |b|
2 = 1. Or le vecteur |2, 1 est luimême une combinaison linéaire des mêmes vecteurs. Pour qu’il soit orthogonal au vecteur
|2, 1, il faut que a + b = 0. Choisissant a et b réels, et par convention a positif, il vient :
|1, 1 = (1/
√
2)[|1, 1; 1, 0 − |1, 1; 0, 1]
(12)
155
Solution.
1. Selon la formule (6.5.14), la décomposition de la représentation est :
D
(1)
⊗ D
(1) = D
(2)
⊕ D
(1)
⊕ D
(0)
(1)
et pour l’espace de représentation :
E
(1)
⊗ E
(1) = E
(2)
⊕ E
(1)
⊕ E
(0)
(2)
2. Les vecteurs de base de l’espace E
( j) sont de la forme :
| j 1 = 1, j 2 = 1 ; j, m
(3)
On peut omettre les notations j 1 et j 2 qui sont identiques pour tous les vecteurs et écrire les
vecteurs (3) sous la forme | jm. Les vecteurs | jm sont les vecteurs de base des espaces E
(2) ,
E
(1) , E
(0) formant la décomposition (2), d’où :
Sous-espace E
(2) ; j = 2 : |2, −2, |2, −1, |2, 0, |2, 1, |2, 2
(4)
Sous-espace E
(1) ; j = 1 : |1, −1, |1, 0, |1, 1
(5)
Sous-espace E
(0) ; j = 0 : |0, 0
(6)
3. Sous-espace E
(2) : La plus grande valeur de m est égale à 2 et elle est obtenue pour
m 1 = m 2 = 1, ce qui correspond au vecteur |1, 1; 1, 1. À cette valeur m = 2 correspond
la plus grande valeur de j, soit j = 2, d’où le vecteur |1, 1; 2, 2. Il n’y a qu’un seul vecteur
correspondant à m = 2, d’où :
|2, 2 = |1, 1; 1, 1
(7)
Selon (6.2.23), l’application de J − à un vecteur | jm donne :
J − | jm =
j( j + 1) − m(m − 1)| j, m − 1
(8)
Appliqué au vecteur |2, 2, il vient : J − |2, 2 = 2 |2, 1, d’où :
|2, 1 = (1/2 )(J 1− + J 2− )|1, 1 ; 1, 1
= (1/2 )
√
2|1, 1 ; 0, 1 +
√
2 |1, 1 ; 1, 0
= (1/
√
2)[|1, 1 ; 0, 1 + |1, 1 ; 1, 0]
(9)
En appliquant J − au vecteur |2, 1, on obtient le vecteur | j = 2, m = 0 par un calcul
analogue au précédent et ainsi de suite. On obtient :
|2, 0 = (1/
√
6)[|1, 1; 1, −1 + 2|1, 1; 0, 0 + |1, 1; −1, 1]
|2, −1 = (1/
√
2)[|1, 1; 0, −1 + |1, 1; −1, 0]
|2, −2 = |1, 1; −1, −1
(10)
Sous-espace E
(1) . Les vecteurs |1, 1; 1, 0 et |1, 1; 0, 1 sont les seuls qui donnent m = 1. Le
vecteur | j = 1, m = 1 peut donc être une combinaison linéaire de ces deux vecteurs :
|1, 1 = a|1, 1; 1, 0 + b|1, 1; 0, 1
(11)
Pour que |1, 1 soit de norme unité, il faut que : |a|
2 + |b|
2 = 1. Or le vecteur |2, 1 est luimême une combinaison linéaire des mêmes vecteurs. Pour qu’il soit orthogonal au vecteur
|2, 1, il faut que a + b = 0. Choisissant a et b réels, et par convention a positif, il vient :
|1, 1 = (1/
√
2)[|1, 1; 1, 0 − |1, 1; 0, 1]
(12)