154
6 • Moment cinétique
Solution.
1. Les matrices respectives des représentations D
(1/2) et D
(1) sont données par (6.2.35), d’où :
R
(1/2)
z
(g) =
e
ig/2
0
0
e
−ig/2
; R
(1)
z (g) =
⎡
⎢
⎢
⎣
e
ig
0
0
0 1
0
0 0 e
−ig
⎤
⎥
⎥
⎦
(1)
2. Les matrices de la représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) sont les produits tensoriels des matrices
R
(1/2)
z
(g) et R
(1)
z (g), définis par (5.2.19), d’où :
R
(1/2)
z
(g) ⊗ R
(1)
z (g) =
e
ig/2 R
(1)
z (g)
0
0
e
−ig/2 R
(1)
z (g)
(2)
On obtient une matrice diagonale ayant pour éléments sur sa diagonale principale :
e
3ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
−3ig/2 . Les autres éléments sont nuls.
3. La matrice (2) donne des éléments matriciels qu’on peut regrouper d’une seule façon pour
former deux représentations : e
±ig/2 correspondent à la représentation D
(1/2) et les éléments
e
3ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
−3ig/2 correspondent à la représentation D
(3/2) . On obtient ainsi la
décomposition de Clebsch-Gordan :
D
(1/2)
⊗ D
(1) = D
(1/2)
⊕ D
(3/2)
(3)
Exercice 6.6. Décomposition de Clebsch-Gordan de la représentation
D
(1)
⊗ D
(1)
Soit un système de deux particules de moments cinétiques tels que j 1 = 1
et j 2 = 1.
1. Donner la décomposition de Clebsch-Gordan de D
(1)
⊗ D
(1) et la décompostion correspondante de l’espace de représentation E
(1)
⊗ E
(1) .
2. On suppose connue la base formée des états propres communs à J
2
1 , J
2
2 ,
J 1z , J 2z et on note ces vecteurs de base |1, m 1 ⊗|1, m 2 = |1, 1 ; m 1 , m 2 ,
avec m 1 , m 2 = 1, 0, −1. Ces vecteurs forment une base de représentation
de l’espace E
(1)
⊗ E
(1) , de dimension égale à neuf.
Les représentations D
(k) figurant dans la décomposition de Clebsch-Gordan
sont des représentations irréductibles ; leurs espaces de représentation E
(k)
sont des sous-espaces stables par SO(3) de l’espace E
(1)
⊗ E
(1) et ont des
bases distinctes.
Les vecteurs |1, 1 ; j, m sont des vecteurs propres communs de J
2
1 , J
2
2 , J
2 ,
J z , où J est le moment cinétique total. Écrire les expressions des vecteurs
de base de chacun des espaces E
(k) .
3. En utilisant l’action de l’opérateur J − , déterminer les vecteurs |1, 1 ; j, m
des différents sous-espaces E
(k) en fonction des vecteurs |1, 1 ; m 1 , m 2 .
6 • Moment cinétique
Solution.
1. Les matrices respectives des représentations D
(1/2) et D
(1) sont données par (6.2.35), d’où :
R
(1/2)
z
(g) =
e
ig/2
0
0
e
−ig/2
; R
(1)
z (g) =
⎡
⎢
⎢
⎣
e
ig
0
0
0 1
0
0 0 e
−ig
⎤
⎥
⎥
⎦
(1)
2. Les matrices de la représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) sont les produits tensoriels des matrices
R
(1/2)
z
(g) et R
(1)
z (g), définis par (5.2.19), d’où :
R
(1/2)
z
(g) ⊗ R
(1)
z (g) =
e
ig/2 R
(1)
z (g)
0
0
e
−ig/2 R
(1)
z (g)
(2)
On obtient une matrice diagonale ayant pour éléments sur sa diagonale principale :
e
3ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
−3ig/2 . Les autres éléments sont nuls.
3. La matrice (2) donne des éléments matriciels qu’on peut regrouper d’une seule façon pour
former deux représentations : e
±ig/2 correspondent à la représentation D
(1/2) et les éléments
e
3ig/2 , e
ig/2 , e
−ig/2 , e
−3ig/2 correspondent à la représentation D
(3/2) . On obtient ainsi la
décomposition de Clebsch-Gordan :
D
(1/2)
⊗ D
(1) = D
(1/2)
⊕ D
(3/2)
(3)
Exercice 6.6. Décomposition de Clebsch-Gordan de la représentation
D
(1)
⊗ D
(1)
Soit un système de deux particules de moments cinétiques tels que j 1 = 1
et j 2 = 1.
1. Donner la décomposition de Clebsch-Gordan de D
(1)
⊗ D
(1) et la décompostion correspondante de l’espace de représentation E
(1)
⊗ E
(1) .
2. On suppose connue la base formée des états propres communs à J
2
1 , J
2
2 ,
J 1z , J 2z et on note ces vecteurs de base |1, m 1 ⊗|1, m 2 = |1, 1 ; m 1 , m 2 ,
avec m 1 , m 2 = 1, 0, −1. Ces vecteurs forment une base de représentation
de l’espace E
(1)
⊗ E
(1) , de dimension égale à neuf.
Les représentations D
(k) figurant dans la décomposition de Clebsch-Gordan
sont des représentations irréductibles ; leurs espaces de représentation E
(k)
sont des sous-espaces stables par SO(3) de l’espace E
(1)
⊗ E
(1) et ont des
bases distinctes.
Les vecteurs |1, 1 ; j, m sont des vecteurs propres communs de J
2
1 , J
2
2 , J
2 ,
J z , où J est le moment cinétique total. Écrire les expressions des vecteurs
de base de chacun des espaces E
(k) .
3. En utilisant l’action de l’opérateur J − , déterminer les vecteurs |1, 1 ; j, m
des différents sous-espaces E
(k) en fonction des vecteurs |1, 1 ; m 1 , m 2 .