Exercices
153
2. Calculer, à partir des mesures des distances entre les pics du spectre, le
moment d’inertie de la molécule.
3. La transition entre les niveaux l = 1 et l = 2 donne un pic d’absorption
dont la longueur d’onde est située à 1,3 mm. Calculer le moment d’inertie à
partir de ces données. Comparer avec le résultat de la question précédente.
4. En déduire la distance r CO entre les atomes constitutifs de la molécule.
Pour N A atomes, on a : C = 12 g, O = 16 g.
Solution.
1. Compte tenu de l’expression des niveaux d’énergie de rotation (6.4.8), la règle de sélection
d’absorption Dl = l
− l = 1 donne la variation d’énergie correspondante :
DE l = E l − E l−1 =
2
2I
[l(l + 1) − l(l − 1)] =
2 l
I
(1)
Deux pics successifs sont donc équidistants de la quantité suivante, exprimée en nombre
d’ondes :
dn =
DE l − DE l
hc
=
2pcI
(2)
2. Les mesures entre deux pics successifs effectuées sur la figure 6.1 donnent une distance
dn 3,85 cm
−1 . Compte tenu de la formule (2), on en déduit :
I =
2pcdn
1,45 × 10
−46 kg m
2
(3)
3. L’énergie DE 2 de la transition correspondant à l’absorption est :
DE 2 = hc/l = 15,28 × 10
−23 J
( 4 )
La formule (1) nous donne : DE 2 = E 2 − E 1 = 2
2 /I, d’où :
I = 2
2 /DE 2 = 1,45 × 10
−46 kg m
2
(5)
On retrouve la même valeur qu’à la question précédente. Des mesures bien plus précises
montreraient une très petite variation du moment d’inertie en fonction de l due à un étirement
de la molécule résultant de la force centrifuge.
4. Le moment d’inertie est : I = mr
2 , où m est la masse réduite, d’où :
r CO =
I
m CO
= 1, 13 × 10
−10 m = 1, 13 Å
(6)
Exercice 6.5. Décomposition de Clebsch-Gordan de la représentation
D
(1/2)
⊗ D
(1)
1. Écrire les matrices R
(1/2)
z
(g) et R
(1)
z (g) des représentations D
(1/2) et D
(1)
du groupe SO(3), correspondant à une rotation d’un angle g autour de l’axe
Oz.
2. Calculer la matrice R
(1/2)
z
(g) ⊗ R
(1)
z (g) de la représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) .
3. Déduire de cette matrice la décomposition de Clebsch-Gordan de la
représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) .
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2. Calculer, à partir des mesures des distances entre les pics du spectre, le
moment d’inertie de la molécule.
3. La transition entre les niveaux l = 1 et l = 2 donne un pic d’absorption
dont la longueur d’onde est située à 1,3 mm. Calculer le moment d’inertie à
partir de ces données. Comparer avec le résultat de la question précédente.
4. En déduire la distance r CO entre les atomes constitutifs de la molécule.
Pour N A atomes, on a : C = 12 g, O = 16 g.
Solution.
1. Compte tenu de l’expression des niveaux d’énergie de rotation (6.4.8), la règle de sélection
d’absorption Dl = l
− l = 1 donne la variation d’énergie correspondante :
DE l = E l − E l−1 =
2
2I
[l(l + 1) − l(l − 1)] =
2 l
I
(1)
Deux pics successifs sont donc équidistants de la quantité suivante, exprimée en nombre
d’ondes :
dn =
DE l − DE l
hc
=
2pcI
(2)
2. Les mesures entre deux pics successifs effectuées sur la figure 6.1 donnent une distance
dn 3,85 cm
−1 . Compte tenu de la formule (2), on en déduit :
I =
2pcdn
1,45 × 10
−46 kg m
2
(3)
3. L’énergie DE 2 de la transition correspondant à l’absorption est :
DE 2 = hc/l = 15,28 × 10
−23 J
( 4 )
La formule (1) nous donne : DE 2 = E 2 − E 1 = 2
2 /I, d’où :
I = 2
2 /DE 2 = 1,45 × 10
−46 kg m
2
(5)
On retrouve la même valeur qu’à la question précédente. Des mesures bien plus précises
montreraient une très petite variation du moment d’inertie en fonction de l due à un étirement
de la molécule résultant de la force centrifuge.
4. Le moment d’inertie est : I = mr
2 , où m est la masse réduite, d’où :
r CO =
I
m CO
= 1, 13 × 10
−10 m = 1, 13 Å
(6)
Exercice 6.5. Décomposition de Clebsch-Gordan de la représentation
D
(1/2)
⊗ D
(1)
1. Écrire les matrices R
(1/2)
z
(g) et R
(1)
z (g) des représentations D
(1/2) et D
(1)
du groupe SO(3), correspondant à une rotation d’un angle g autour de l’axe
Oz.
2. Calculer la matrice R
(1/2)
z
(g) ⊗ R
(1)
z (g) de la représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) .
3. Déduire de cette matrice la décomposition de Clebsch-Gordan de la
représentation D
(1/2)
⊗ D
(1) .