152
6 • Moment cinétique
En remplaçant x dans (11) par r sin u cos w, et compte tenu de (3), il vient :
∂u/∂x = (cos u cos w)/r
(12)
Des calculs analogues donnent :
∂u/∂y = (cos u sin w)/r ; ∂u/∂z = −(sin u)/r
(13)
∂w/∂x = −(sin w)/(r sin u) ; ∂w/∂y = (cos w)/(r sin u) ; ∂w/∂z = 0
(14)
3. La formule classique de dérivation partielle donne :
∂
∂x
=
∂r
∂x
∂
∂r
+
∂u
∂x
∂
∂u
+
∂w
∂x
∂
∂w
(15)
En reportant dans (15) les expressions des dérivées partielles obtenues en fonction des coordonnées sphériques, il vient :
∂/∂x = (sin u cos w)∂/∂r + [(cos u cos w)/r]∂/∂u − [(sin w)/(r sin u)]∂/∂w
(16)
Des calculs analogues donnent ∂/∂y et ∂/∂z en coordonnées sphériques :
∂/∂y = (sin u sin w)∂/∂r + [(cos u sin w)/r]∂/∂u + [(cos w)/(r sin u)]∂/∂w
(17)
∂/∂z = (cos u)∂/∂r − [(sin u)/r]∂/∂u
(18)
4. En coordonnées cartésiennes, on a : L x = i (z ∂/∂y − y ∂/∂z). En reportant dans L x
les expressions de ∂/∂y et ∂/∂z, données respectivement par (17) et (18), on obtient, après
simplification :
L x = i
sin w
∂
∂u
+ cot u cos w
∂
∂w
(19)
Des calculs analogues nous donnent :
L y = −i
cos w
∂
∂u
− cot u sin w
∂
∂w
; L z = −i
∂
∂w
(20)
Exercice 6.4. Spectre d’absorption de rotation pure de CO
Le spectre d’absorption de la molécule d’oxyde de carbone, CO, situé dans
le domaine de l’infrarouge lointain est un spectre de rotation pure. Une
partie de ce spectre, enregistré à l’aide d’un spectromètre (voir chapitre 4),
est représenté sur la figure 6.1. Le coefficient d’absorption est porté en ordonnées, et le nombre d’ondes en abscisses. Les pics d’absorption observés
correspondent à des transitions l → l + 1 pour différentes valeurs de l.
20
30
40
50
60
(cm –1 )
ν
Figure 6.1
1. Montrer que dans un spectre de rotation pure les différents pics observés
sont théoriquement équidistants.