Exercices
151
L’expression de la dérivée partielle s’exprime alors sous la forme :
∂f
∂x
=
(df ) y,z
dx
(3)
On obtient de même :
∂f
∂y
=
(df ) x,z
dy
;
∂f
∂z
=
(df ) x,y
dz
(4)
En considérant les fonctions f (x, y, z) suivantes : r
2 , cos
2 u, tan w, calculer
les dérivées partielles de r, u, w par rapport à x, y, z en utilisant la méthode
ci-dessus.
3. Calculer les expressions des opérateurs ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z en coordonnées sphériques.
4. Calculer les composantes L x , L y et L z , du moment cinétique, en coordonnées sphériques.
Solution.
1. Les relations entre les coordonnées cartésiennes et sphériques conduisent aux expressions :
r =
x 2 + y 2 + z 2 ; u = arccos
z
x 2 + y 2 + z 2
; w = arctan
y
x
(5)
2. On a les relations suivantes :
r
2 = x
2 + y
2 + z
2
; cos
2 u =
z
2
x 2 + y 2 + z 2 ; tanw =
y
x
(6)
Cherchons la dérivée partielle ∂r/∂x. Pour ce faire, calculons la différentielle de la fonction
r
2 (x, y, z) = x
2 + y
2 + z
2 pour y et z constantes. On obtient :
d(r
2 )
y,z
= 2r(dr) y,z = 2xdx
(7)
La relation (7), compte tenu de la formule (3), donne l’expression de la dérivée partielle
∂r/∂x :
(dr) y,z
dx
=
∂r
∂x
=
x
r
(8)
En remplaçant la coordonnée cartésienne x par r sin u cos w, il vient :
∂r
∂x
= sin u cos w
(9)
Remarquons que le calcul peut être fait avec la fonction r =
x 2 + y 2 + z 2 mais l’emploi de
r
2 le simplifie. On obtient par un calcul analogue :
∂r
∂y
=
y
r
= sin u sin w ;
∂r
∂z
=
z
r
= cos u
(10)
En partant à présent de : z
2 = (x
2 +y
2 +z
2 ) cos
2 u, on obtient en différentiant les deux membres
de l’équation pour y et z constantes :
−2r
2 cos u sin u(du) y,z + 2x cos
2 udx = 0
(11)