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6 • Moment cinétique
Solution.
1. La relation (1) est vérifiée pour les opérateurs X k ainsi que le montre la formule (7) de
l’exercice précédent.
2. Calculons, par exemple, le commutateur [L x , P y ] :
[L x , P y ] = L x P y − P y L x = (YP z − ZP y )P y − P y (YP z − ZP y )
( 2 )
Les opérateurs Y et P z commutent ainsi que Z et P y . D’autre part, on a : YP y − P y Y = i ,
d’où :
[L x , P y ] = (YP y − P y Y)P z − ZP
2
y + ZP
2
y = i P z
(3)
Vérifions la relation (1) pour L i = L 1 , z j = P 2 ; on a :
[L 1 , P 2 ] = i
3
k=1
´ 12k P k = i (´ 121 P 1 + ´ 122 P 2 + ´ 123 P 3 ) = i P 3
(4)
3. Calculons le commutateur [L x , L y ] :
[L x , L y ] = L x L y − L y L x = L x (ZP x − XP z ) − (ZP x − XP z )L x
Puisque P x commute avec Z et L x commute avec P x et X, il vient :
[L x , L y ] = (L x Z − ZL x )P x − X(L x P z − P z L x ) = −i YP x + i XP y
= i (XP y − YP x ) = i L z
(5)
Vérifions la relation (1) pour L i = L 1 , z j = L 2 ; on a :
[L 1 , L 2 ] = i
3
k=1
´ 12k L k = i (´ 121 L 1 + ´ 122 L 2 + ´ 123 L 3 ) = i L 3
(6)
Exercice 6.3. Composantes du moment cinétique
en coordonnées sphériques
Les coordonnées sphériques r, u, w sont liées aux coordonnées cartésiennes
par : x = r sin u cos w ; y = r sin u sin w ; z = r cos u.
1. Exprimer r, u et w en fonction de x, y, z.
2. On se propose de calculer les dérivées partielles des fonctions r, u et
w par rapport aux variables x, y, z en utilisant une technique basée sur le
principe suivant.
Soit une fonction f (x, y, z) dont la différentielle totale s’écrit :
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
(1)
Si, par hypothèse, y et z sont prises à valeurs constantes, on a : dy = dz = 0.
La différentielle se réduit à :
(df ) y,z =
∂f
∂x
dx
(2)