Exercices
149
´ ijk = −1, si le nombre de permutations de deux indices est impair :
´ ijk = 0, lorsque deux au moins des indices sont identiques.
Écrire les indices des composantes ´ ijk égales à 1 ou −1.
3. Posons : X = X 1 , Y = X 2 , Z = X 3 ; L x = L 1 , L y = L 2 , L z = L 3 . Écrire
les neufs commutateurs [L i , X j ] à l’aide du symbole ´ ijk .
Solution.
1. Les composantes du moment cinétique sont données par (6.1.8), à savoir :
L x = YP z − ZP y ; L y = ZP x − XP z ; L z = XP y − YP x
(1)
La composante L x commute avec X puisqu’elle ne dépend pas de X ; le commutateur
[L x , X] est donc nul. Une remarque analogue est valable pour les autres composantes,
d’où : [L y , Y] = 0 ; [L z , Z] = 0.
Calculons le commutateur [L x , Y] ; il vient :
L x Y − YL x = (YP z − ZP y )Y − Y(YP z − ZP y )
( 2 )
Puisque P z commute avec Y, on a : YP z Y = YYP z et la relation (2) se réduit à :
[L x , Y] = −Z(P y Y − YP y ) = Z[Y, P y ]
( 3 )
Il est facile de vérifier que [Y, P y ] = i , d’où :
[L x , Y] = i Z
(4)
Des calculs analogues nous donnent :
[L y , Z] = i X ; [L z , X] = i Y ; [L x , Z] = −i Y
[L y , X] = −i Z ; [L z , Y] = −i X
(5)
2. Les composantes non nulles du tenseur ´ ijk sont les suivantes :
´ 123 = ´ 312 = ´ 231 = 1 ; ´ 213 = ´ 132 = ´ 321 = −1
( 6 )
3. On vérifie que les neuf commutateurs précédents se mettent sous la forme :
[L i , X j ] = i
3
k=1
´ ijk X k ; i, j = 1, 2, 3
( 7 )
Exercice 6.2. Différents commutateurs du moment cinétique
On pose z k = X k , P k ou L k , k = 1, 2, 3, avec : X = X 1 , Y = X 2 , Z = X 3 ;
P x = P 1 , P y = P 2 , P z = P 3 ; L x = L 1 , L y = L 2 , L z = L 3 .
Vérifier sur des exemples la relation :
[L i , z j ] = i
3
k=1
´ ijk z k
(1)
1. Pour z k = X k
2. Pour z k = P k
3. Pour z k = L k
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´ ijk = −1, si le nombre de permutations de deux indices est impair :
´ ijk = 0, lorsque deux au moins des indices sont identiques.
Écrire les indices des composantes ´ ijk égales à 1 ou −1.
3. Posons : X = X 1 , Y = X 2 , Z = X 3 ; L x = L 1 , L y = L 2 , L z = L 3 . Écrire
les neufs commutateurs [L i , X j ] à l’aide du symbole ´ ijk .
Solution.
1. Les composantes du moment cinétique sont données par (6.1.8), à savoir :
L x = YP z − ZP y ; L y = ZP x − XP z ; L z = XP y − YP x
(1)
La composante L x commute avec X puisqu’elle ne dépend pas de X ; le commutateur
[L x , X] est donc nul. Une remarque analogue est valable pour les autres composantes,
d’où : [L y , Y] = 0 ; [L z , Z] = 0.
Calculons le commutateur [L x , Y] ; il vient :
L x Y − YL x = (YP z − ZP y )Y − Y(YP z − ZP y )
( 2 )
Puisque P z commute avec Y, on a : YP z Y = YYP z et la relation (2) se réduit à :
[L x , Y] = −Z(P y Y − YP y ) = Z[Y, P y ]
( 3 )
Il est facile de vérifier que [Y, P y ] = i , d’où :
[L x , Y] = i Z
(4)
Des calculs analogues nous donnent :
[L y , Z] = i X ; [L z , X] = i Y ; [L x , Z] = −i Y
[L y , X] = −i Z ; [L z , Y] = −i X
(5)
2. Les composantes non nulles du tenseur ´ ijk sont les suivantes :
´ 123 = ´ 312 = ´ 231 = 1 ; ´ 213 = ´ 132 = ´ 321 = −1
( 6 )
3. On vérifie que les neuf commutateurs précédents se mettent sous la forme :
[L i , X j ] = i
3
k=1
´ ijk X k ; i, j = 1, 2, 3
( 7 )
Exercice 6.2. Différents commutateurs du moment cinétique
On pose z k = X k , P k ou L k , k = 1, 2, 3, avec : X = X 1 , Y = X 2 , Z = X 3 ;
P x = P 1 , P y = P 2 , P z = P 3 ; L x = L 1 , L y = L 2 , L z = L 3 .
Vérifier sur des exemples la relation :
[L i , z j ] = i
3
k=1
´ ijk z k
(1)
1. Pour z k = X k
2. Pour z k = P k
3. Pour z k = L k