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6 • Moment cinétique
TABLEAU 6.1 COEFFICIENTS DE CLEBSCH-GORDAN j 1
1
2
; (m − m 2 )m 2 | j 1
1
2
jm.
m 2 =
1
2
m 2 = −
1
2
j = j 1 +
1
2
j 1 + m + 1/2
2j 1 + 1
j 1 − m + 1/2
2j 1 + 1
j = j 1 −
1
2
−
j 1 − m + 1/2
2j 1 + 1
j 1 + m + 1/2
2j 1 + 1
d) Nouvelle base de l’espace E E E
(j 1 j 2 )
La base formée par les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 n’est pas la plus utile. Si tous les
vecteurs d’état ayant un intérêt pratique sont des vecteurs propres de l’hamiltonien
H d’un système physique, alors une base intéressante pour de nombreux calculs est
celle formée par des vecteurs propres d’opérateurs qui commutent avec H. En général, ce sont les opérateurs de moment cinétique total.
Les différentes bases {| j 1 j 2 j m} des sous-espaces E
( j) qui figurent dans l’espace
E
( j1)
⊗ E
( j2) forment une nouvelle base de ce dernier. Les vecteurs | j 1 j 2 j m sont
précisément des vecteurs propres des opérateurs de moment cinétique total. Nous
avons vu que ce sont des vecteurs propres de J
( j1 j2)
z
; ce sont également des vecteurs
propres de J
2
1 ⊗ 1 1
( j2) , selon (6.5.6) ainsi que de 1 1
( j1)
⊗ J
2
2 . Enfin, ce sont des vecteurs
propres de :
J
2 = (J
( j1 j2)
x
)
2 + (J
( j1 j2)
y
)
2 + (J
( j1 j2)
z
)
2
(6.5.19)
correspondant à la valeur propre
2 j( j + 1). Ces divers opérateurs commutent tous
entre eux.
EXERCICES
Exercice 6.1. Commutateurs du moment cinétique avec les coordonnées
Soient L x , L y , L z , les composantes de l’opérateur du moment cinétique.
1. Calculer le commutateur [L i , X j ] avec L i = L x , L y ou L z , X j = X, Y
ou Z.
2. Le tenseur antisymétrique ´ ijk , i, j, k = 1, 2, 3 possède 27 composantes.
Seules six composantes ne sont pas nulles : ce sont celles qui correspondent
à un nombre de permutations pair ou impair des indices i, j, k, en partant
de l’ordre naturel 1, 2, 3. Par définition, on a :
´ ijk = 1, si le nombre de permutations de deux indices est pair ;