6.5 Composition des moments cinétiques
147
b) Décomposition de la représentation D
(j 1 )
⊗ D
(j 2 )
À chaque caractère x
( j) [R (g)] correspond une représentation matricielle D
( j) .
D’autre part, la décomposition d’une représentation réductible en représentations
irréductibles étant unique, la décomposition de Clebsch-Gordan pour le groupe
SO(3) est donnée par :
D
( j1)
⊗ D
( j2) = D
( j1+j2)
⊕ D
( j1+j2−1)
⊕ ... ⊕ D
| j1−j2|
(6.5.14)
Le produit direct de deux représentations de poids respectifs j 1 et j 2 se décompose
donc en représentations irréductibles de poids respectifs j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1, ..., | j 1 − j 2 |,
chacune de ces représentations ne figurant qu’une seule fois dans la décomposition.
L’espace E
( j1)
⊗ E
( j2) est l’espace de représentation de D
( j1)
⊗ D
( j2) . La décomposition (6.5.14) montre que cet espace se décompose sous la forme d’une somme
directe :
E
( j1)
⊗ E
( j2) = E
( j1+j2)
⊕ E
( j1+j2−1)
⊕ · · · ⊕ E
| j1−j2| =
j1+j2
j=| j1−j2|
⊕E
( j)
(6.5.15)
où l’espace E
( j1+j2−k) est l’espace de représentation de D
( j1+j2−k) .
c) Coefficients de Clebsch-Gordan
Dans la décomposition (6.5.15), j prend les valeurs suivantes :
j = ( j 1 + j 2 ), ( j 1 + j 2 − 1), ..., | j 1 − j 2 |
(6.5.16)
Cherchons les vecteurs de base de chacun des sous-espaces E
( j) figurant dans la
décompositon (6.5.15) de l’espace E
( j1)
⊗E
( j2) . Les vecteurs de base de E
( j1)
⊗E
( j2)
sont les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 définis par (6.5.4) et les vecteurs de base de E
( j) sont
des combinaisons linéaires de ces derniers.
Selon (6.5.5), les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs propres de J
( j1 j2)
z
dont
les valeurs propres sont égales à m = (m 1 + m 2 ). Par suite, toute combinaison
linéaire des vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est également vecteur propre de J
( j1 j2)
z
. Notons
alors | j 1 j 2 jm les vecteurs de base d’un sous-espace E
( j) décomposés sur la base
{| j 1 j 2 ; m 1 m 2 } :
| j 1 j 2 j m =
m1 m2
C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) | j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.17)
où m 1 varie de −j 1 à j 1 et m 2 de −j 2 à j 2 . Les coefficients C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) sont
appelés les coefficients de Clebsch-Gordan ou encore coefficients de Wigner. Ce sont
les éléments matriciels de la matrice de passage d’une base à l’autre ; compte tenu de
la relation de fermeture, ils s’écrivent :
C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) = j 1 j 2 ; m 1 m 2 | j 1 j 2 j m
(6.5.18)
L’expression générale de ces coefficients peut être déterminée par le calcul ; nous
nous contenterons d’en donner quelques valeurs, pour j 2 = 1/2, qui nous seront
utiles par la suite.
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b) Décomposition de la représentation D
(j 1 )
⊗ D
(j 2 )
À chaque caractère x
( j) [R (g)] correspond une représentation matricielle D
( j) .
D’autre part, la décomposition d’une représentation réductible en représentations
irréductibles étant unique, la décomposition de Clebsch-Gordan pour le groupe
SO(3) est donnée par :
D
( j1)
⊗ D
( j2) = D
( j1+j2)
⊕ D
( j1+j2−1)
⊕ ... ⊕ D
| j1−j2|
(6.5.14)
Le produit direct de deux représentations de poids respectifs j 1 et j 2 se décompose
donc en représentations irréductibles de poids respectifs j 1 + j 2 , j 1 + j 2 − 1, ..., | j 1 − j 2 |,
chacune de ces représentations ne figurant qu’une seule fois dans la décomposition.
L’espace E
( j1)
⊗ E
( j2) est l’espace de représentation de D
( j1)
⊗ D
( j2) . La décomposition (6.5.14) montre que cet espace se décompose sous la forme d’une somme
directe :
E
( j1)
⊗ E
( j2) = E
( j1+j2)
⊕ E
( j1+j2−1)
⊕ · · · ⊕ E
| j1−j2| =
j1+j2
j=| j1−j2|
⊕E
( j)
(6.5.15)
où l’espace E
( j1+j2−k) est l’espace de représentation de D
( j1+j2−k) .
c) Coefficients de Clebsch-Gordan
Dans la décomposition (6.5.15), j prend les valeurs suivantes :
j = ( j 1 + j 2 ), ( j 1 + j 2 − 1), ..., | j 1 − j 2 |
(6.5.16)
Cherchons les vecteurs de base de chacun des sous-espaces E
( j) figurant dans la
décompositon (6.5.15) de l’espace E
( j1)
⊗E
( j2) . Les vecteurs de base de E
( j1)
⊗E
( j2)
sont les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 définis par (6.5.4) et les vecteurs de base de E
( j) sont
des combinaisons linéaires de ces derniers.
Selon (6.5.5), les vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 sont des vecteurs propres de J
( j1 j2)
z
dont
les valeurs propres sont égales à m = (m 1 + m 2 ). Par suite, toute combinaison
linéaire des vecteurs | j 1 j 2 ; m 1 m 2 est également vecteur propre de J
( j1 j2)
z
. Notons
alors | j 1 j 2 jm les vecteurs de base d’un sous-espace E
( j) décomposés sur la base
{| j 1 j 2 ; m 1 m 2 } :
| j 1 j 2 j m =
m1 m2
C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) | j 1 j 2 ; m 1 m 2
(6.5.17)
où m 1 varie de −j 1 à j 1 et m 2 de −j 2 à j 2 . Les coefficients C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) sont
appelés les coefficients de Clebsch-Gordan ou encore coefficients de Wigner. Ce sont
les éléments matriciels de la matrice de passage d’une base à l’autre ; compte tenu de
la relation de fermeture, ils s’écrivent :
C( j 1 j 2 j, m 1 m 2 m) = j 1 j 2 ; m 1 m 2 | j 1 j 2 j m
(6.5.18)
L’expression générale de ces coefficients peut être déterminée par le calcul ; nous
nous contenterons d’en donner quelques valeurs, pour j 2 = 1/2, qui nous seront
utiles par la suite.